Por qué no entendemos matemáticas (II)

En una entrada anterior de este blog, publiqué la traducción de un documento en el cual Dijkstra analiza una de las principales causas de las dificultades que se nos presentan a la hora de aprender matemáticas (y, en general, de lidiar con abstracciones).

Después de haber recibido algunos buenos comentarios sobre este asunto, y para seguir con la polémica, aquí va otro artículo en el mismo sentido.


Este documento también está disponible en formato PDF y en PostScript.

 

Escrito enojado

Edsger W. Dijkstra (EWD696)

“Pero los gráficos no son la cuestión central de la geometría, y no está permitido razonar a partir de ellos. Es cierto que mucha gente, incluyendo a los matemáticos, se apoyan en ellos como una muleta y se encuentran incapacitados de hablar cuando se les quita dicha muleta.”

Morris Kline en el capítulo “Un Discurso sobre el Método” de “Matemáticas en la Cultura Occidental”, Oxford University Press, Inc., 1953

La observación de Morris Kline es correcta. Omite la explicación de lo que ha observado, aunque dicha explicación es simple: la mayoría de la gente, incluyendo a los matemáticos, son pensadores aficionados en el sentido en que no se les ha enseñado cómo pensar eficazmente. No se les ha dicho que tiren la muleta y, por lo tanto, nunca han aprendido a correr.

El hábito de usar ayudas gráficas, como cualquier hábito, es muy dificil de erradicar. Sin embargo, si aceptamos alguna responsabilidad por la eficacia de nuestros hábitos de razonamiento, deberíamos tratar de abandonarlo tan rápido como sea posible; dado que es un mal hábito, desconcertante y engañoso hasta el punto de ser paralizante. Una de las contras de los gráficos es que son casi siempre sobre-específicos. Uno no puede graficar “un triángulo arbitrario”: ni bien uno lo ha hecho, éste tiene un ángulo obtuso o no, mientras que para “el triángulo arbitrario” la propiedad de tener un ángulo obtuso está explicitamente indefinida. En el caso de los grafos es aún peor, porque el mismo grafo específico tiene tantas representaciones gráficas, que el sólo establecer que dos gráficos distintos representan el mismo grafo requiere de un tosco proceso de verificación. En el caso de los árboles y listas una circunstancia simpáticamente desconcertante es que la mayoría de las convenciones gráficas no incluyen una representación visible para el árbol o la lista vacía. Son engañosos porque la misma cosa tiene varias representaciones visualmente muy diferentes; su uso es desconcertante porque es insólito cuando un autor establece que dos gráficos distintos tienen que ser considerados semánticamente equivalentes, y son paralizantes porque sólo pueden representar miembros individuales de un conjunto. Y cuando trabajamos con un conjunto, uno de los peores errores que podemos cometer al razonar es tratar de lidiar con el conjunto como un todo, trabajando con los miembros individuales de un subconjunto del cual sólo podemos rogar que sea representativo: uno solamente puede trabajar con un conjunto -y por lo tanto con todos sus miembros- mediante su definición. Una vez que haya comprendido esto, no lo sorprenderá escuchar que uno de los mayores componentes del aprendizaje del razonamiento efectivo es el “desaprendizaje” del uso de gráficos. (Y el “desaprendizaje” es muy dificultoso, dado que su pasado seguirá siendo su pasado: lo único que puede hacer es superponer un nuevo pasado sobre el anterior, y rogar que el más reciente sea dominante.)

Y todo esto fue desencadenado por el “Diseño de Programas Abstractos en un Entorno Interactivo”, la tesis doctoral de Lars Kahn, de Estocolmo, quién gentilmente me envió una copia; la cual revisé la otra noche. Entre otros comentarios que no citaré, (el ahora Doctor) Lars Kahn establece que “[es] mi propia experiencia y la de otros, que es más natural en el proceso de diseño el uso de una notación gráfica en vez de texto. Por varios motivos, no he tenido la oportunidad de implementar una herramienta interactiva con notación gráfica, pero creo que un sistema visual gráfico fácilmente operable para el diseño de programas sería la mejor asistencia mental”. Aquí “más natural” debe leerse como “más natural para el ignorante”: su “sistema visual gráfico fácilmente operable” significaría el perjuicio más grave al diseño de programas que puedo imaginar. La disertación -de esto me di cuenta más tarde, habiendo salteado las letras pequeñas- fue para el grado de Doctor en ciencias sociales, lo cual trata ciertamente sobre el ignorante. A veces temo que además sean para el ignorante, y por el ignorante.

20 de diciembre de 1978

Plataanstraat 5
5671 AL Nuenen
Holanda
prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Investigador Asociado de Burroughs

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25 Comentarios.

  1. meneame.net - trackback on 21 de agosto de 2006 @5:37
  2. La verdad no estoy en absoluto de acuerdo. El uso de gráficos para la resolución de problemas puede resultar simplemente imprescindible.

    Hay cuestiones que solo se pueden plantear con un dibujo delante, dado que no hay otra forma de plantear el enunciado. Hay un ejercicio clásico de Ecuaciones Diferenciales que es un ejemplo claro:

    “Empleando coordenadas cartesianas, hallar la forma del espejo tal que los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, salen paralelos a una dirección dada”.

    Para resolver este problema, hay que apoyarse en la obtención de un triángulo que permanece semejante todo el tiempo, y la relación de éste y sus ángulos con la posicion genérica. Creo que es imposible ver dichas relaciones sin un gráfico de ayuda, bien sea dibujado o imaginado.

    Un saludo

  3. No entiendo porque ahora usamos herramientas CASE si Dijkstra ya nos había advertido de los problemas que trae para la abstraccion el uso de elementos unicos de un conjunto para la elaboracion de un sistema complejo :P
    Ahi nos queda la duda de que tanto escuchamos a las personas que realmente saben

  4. El artículo parece bueno, pero no lo entiendo del todo. Quizá con un par de grafiquitos se entendería mejor, ¿no?

    ..

    ..

    ¡¡Vale vale!! ¡¡Era broma!! :D

  5. En absoluto y completo desacuerdo.
    -Nuestro procesamiento visual está altamente desarrollado. Sería un desperdicio de capacidad de proceso no contar con ayudas graficas.
    -Esto es como indicar que los trenes de aterrizaje son inútiles para el vuelo, ignorando que sirven para despegar (y aterrizar), no para volar.
    -Sólo aporta opiniones, y un caso: el suyo.

  6. No puedo estar mas en desacuerdo.

    Por que la tarjeta del bar de al lado tiene un mapa para llegar a el desde la estacion del metro y no un texto que explique como?

    Si no estas en el lugar al que quieres ir ni tampoco conoces el camino, la ruta a tomar es para ti un concepto abstracto.

    Y justo en el momento de leer “triangulo generico” ya imaginas un triangulo concreto, no todos los triangulos o uno cualquiera. Imaginar y dibujar son lo mismo.

    Pregunto: Entorno grafico o linea de comandos?

  7. naturopata:

    – Nuestro “procesamiento visual” es varios órdenes de magnitud más limitado que el poder de los mecanismos de abstracción que nos proveen las matemáticas. Tratar de reducirlos a imágenes es, justamente, una gran pérdida.

    – La analogía es totalmente falsa. No hace falta decir más nada (el razonamiento por analogías es también otro grave defecto).

    – Aporta opiniones, es cierto, pero también fundamentos para las mismas.

  8. Lo que este hombre propone es que aprendamos a andar sin aprender a gatear, ya que gatear no es eficiente.

    No se puede negar que si pudiéramos aprender a andar directamente, sería más eficiente, al no pasar por un paso intermedio que después hay que abandonar, pero lo cierto es que los humanos necesitamos los pasos intermedios para llegar a puntos más avanzados.

    Más que de acuerdo o en desacuerdo, yo me muestro en un punto intermedio. Quizá sería mejor si usáramos analogías al principio, pero las abandonáramos lo antes posible en nuestro proceso de aprendizaje.

    Yo ya no imagino manzanas al pensar en números naturales, me deshice de esa analogía al pasar a conceptos más complejos, pero me vino bien en su momento.

    ¿No os parece?

  9. “es varios órdenes de magnitud más limitado”

    Un ciego sabe lo que es magnitud ? Por supuesto, lo VIÓ con las manos. Como supiste tú naturopata que significa magnitud sino con el sentido de la vista, q luego se abstrajo a llegar al concepto de magnitud ya “despegado” de la noción “tactil”
    No les creo en absoluto a los q defienden eso de que el concepto no necesita ejemplificaciones, eso sería álgebra pura. (pero pa plantear las ecuaciones se hizo uso de artificios imaginativos) Y ya lo demuestran los computadores que ni imaginación tienen y pueden resolver cosas que un hombre jamás, álgebra pura, operatoria estúpida y bién útil. Por tanto el autor planetaría que la “necesidad” de “graficar” relaciones está demás, eso sería cierto si existe apuro en resolver las cosas. Ya sospecho que los físicos mismos, los de punta, tratan de “poner en palabras” (poner en “imágenes”) el desarrollo de proposiciones que salen de la máquina algebraica.

    Eso

  10. Calabacín:

    Estás usando otra falsa analogía (un vicio común de nuestros tiempos). El proceso de maduración motriz que nos lleva a caminar, el cual nos lleva a gatear primero (aunque muchos niños nunca lo hacen), no tiene por qué compararse al proceso mental de abstracción lógico-matemática.

    El problema con la adquisición de “muletas” mentales es que las estructuras que se crean luego son muy difíciles (quizás imposibles) de eliminar o suplantar (sin duda los psicólogos saben bastante más de esto).

    Tu dices que ya no piensas en manzanas, y eso quizás sea cierto (no lo haces conscientemente, pero, ¿estás seguro de que esa analogía ha sido totalmente erradicada de tu mente?

  11. “Graficar”, “utilización de gráficos”, etc, etc.
    ¿Esto se refiere solamente a “lápiz y papel”?
    Cuando uno da ejemplos, no está de alguna manera “graficando”?

    Cuando uno aprende algo nuevo, en general, trata de asociarlo con algo que “sabía de antes”, y sobre esos conocimientos previos, construye los nuevos, y de alguna manera, creo, eso es “graficar”.
    ¿Eso está mal? ¿Eso es algo que tenemos que evitar? ¿Se puede evitar?

    ¿Con qué nivel de abstracción debemos entender o utilizar los términos “gráficos” y “graficar” en el contexto del tema que estamos discutiendo?

    ¿Los niveles de abstracción se logran con la madurez de la mente y la “práctica”, o pueden ser “forzados”?

    Uh! cuántas preguntas!!
    ¿Será que no entendí bien el texto? :S

  12. El artículo es muy curioso.

    Ante todo: estoy de acuerdo con él, pero me reservo un comentario: omitiendo analogías, pienso que el proceso de aprendizaje posiblemente requiere una graduación o escalonamiento, en otras palabras, no se puede forzar a la mente durante horas esperando que acepte de pronto todo un paquete abstracto.

    Además, comentas que es un error usar los específicos parciales como muletas, sin embargo, personas que aprenden directamente los enunciados formales de las cosas (y ésa es su forma natural de aprendizaje) adolecen precisamente de la falta de capacidad de síntesis (o anti-abstracción) requerida para todo tipo de actos habituales.

    De modo que, ¿hasta qué punto es un error el uso de los específicos? ¿puede ser un error lo contrario?

    Para acabar, has recurrido a “triángulos” y a “muletas” para explicarte, en lugar de seguir hablando de “casos” y “específicos parciales”. ¿No crees que estás utilizando muletas para hacerte comprender, destruyendo aún más la capacidad de abstracción de nosotros, tus lectores?

    Gracias. Es muy interesante.

  13. Alenis, iba a publicar una entrada, pero has dicho lo que yo pensaba mucho mejor de lo que yo lo hubiera hecho.

  14. ¿Qué fue primero el gráfico o la ecuación?¿Qué diría Galton a su amigo matemático cuándo le mostró su gráfico de la normal multivariada?

  15. Por qué tanto problema, con gráficos o sin gráficos, lo importate es obtener resultados, no? Cada quien con el método que le vaya mejor.
    http://ilmaistro.com

  16. mmm… estoy en un punto intermedio, no puedo decir que si nosotros razonaramos de esa forma todo sería mucho mas fácil en una mente adulta, pero la sociedad nos obliga a “Graficar” porque sino estamos muertos:

    “Arbol,
    sonido que las hojas producen al chocar contra el viento”

    Este es un verso de Nicanor Parra, el cual nos indica que cuando somos niños IMITAMOS el sonido de lo que nos rodea para nombrarlo, tan facil es como un Guau! o un miau!, luego aprendemos que no es miau sino que es Gato, y asi seguimos evolucionando en niveles de abstraccion, legamos a los animales, luego a las células para terminar con el atomo.

    Es lo mismo que alguien dijo sobre las manzanas, me sirvio en su momento pero para multiplicar o sumar no necesito a las manzanas, sino a los numeros.

    Alguién hablo tambien por lo que se suponía que el concepto de magnitud lo asimilamos debido a que vemos, pero un ciego no. Eso es en parte verdadero pero esta fuera de contexto, ya que biologiamente nuestra mente esta diseñada para recordar imagenes ( de ahi viene el concepto de memoria fotografica ) entonces no podemos erradicar esa forma de pensar porque es biologicamente imposible, a la vez que el ciego se ADAPTA, es decir, puede saber una magnitud con solo calcular los pasos, el tiempo o cualquier otra forma basada en instintos basicos de razonamiento.

  17. yo creo que es muy importante utilizar gráficos para la mejor comprensión de ciertos temas. El desarrollo del aprendizaje es espiralado y progresivo, creo que para lograr un pensamiento abstracto hay que comenzar desde situaciones lo más concretas posibles, para luego poder adquirir determinadas imágenes mentales.

  18. Puro chamullo, yo no creo que Dijkstra no imagine. Es un acto natural del ser humano que nadie puede eliminar, no somos robots (afortunadamente).

  19. ¿Alguien se ha dado cuenta de que estamos dando vueltas a lo mismo una y otra vez?

    El abuso de gráficos es malo para resolver un problema. Lo afirmo por mi experiencia personal como matemático que soy.

    Otra cosa es querer resolver un problema general operando con un ejemplar de un conjunto. Eso es disparatado.

    Los defensores de los gráficos deberían saber que sólo son útiles cuando caracterizan el problema a resolver, no cuando lo ejemplifican. En cristiano: no es lo mismo que el gráfico SEA el problema, a que sea un CASO PARTICULAR del problema.

  20. Es increible que en pleno siglo XXI se esten discutiendo estas cosas. Hubiera sido razonable conversar sobre esto a principios del siglo XX. Cuando (por suerte) se dio un crecimiento importantisimo de las areas logicas y de fundamentos dentro del campo de la matematica. ¡Pero esto ya ha sido zanjado hace tiempo!
    Es una posicion tan absurda que ni siquiera un tipo inteligente como Dijkstra puede defender.

  21. mas que un comentario es una pregunta que siempre e querido hacer y mis maestros de matematicas dicen que poco a poco se a de ir desarrollando el cerebro.La pregunta es: ¿Què puede hacer una persona para razonar mas rapidamente y para que a su vez pueda tener mas habilidad mental hablando matematicamente?, no se en los acertijos o juegos mentales que le cuesta mucho resolver.

  22. pienso que la logica y el razonamiento lo utilizas siempre desde la forma en que piensas como resolver algunos problemas o la forma de hacer las cosas, y tambien pienso que no hay que desesperarse si no entiendes solo busca la forma de soluciuonarlo.

  23. los graficos siempre seran necesarios para el razonamiento ya que lo facilitan. gracias

  24. Aqui un ejemplo claro de necesidad de representación gráfica: El autómata celular. Es mucho más sencillo sacar conclusiones sobre complejidad del comportamiento de este tipo de sistemas dinámicos mediante su representación gráfica, y también en el caso de la geometría fractal. Nadie contemplaría el mandelbrot en otro caso…

    Parece mentira viniendo de Dijkstra que obvie estas cosas, aunque en mucho de lo que dice no le falta razón.

  25. A parte de dos comentarios, ninguno de los demás participantes ha entendido el texto. Dijkstra no condena los gráficos per se sino que se opone a su dependencia. Para los que han estudiado análisis matemático, ¿quien no ha conocido a un compañero que es incapaz de decir si una función es continua a menos que le des la gráfica?, ¿quien no ha conocido ha esa persona que no termina de entender teoría de conjuntos solo por que ciertos teoremas no se pueden demostrar con diagramas de Venn? El depender de puro razonamiento ha base de gráficas y analogías en lugar de las definiciones hace que las personas se colapsen ante cualquier problema mínimamente abstracto. Las muletas solo se usan cuando uno no puede andar, en cualquier otro caso son irrelevantes.

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