Una de las cuestiones que preocupaba mucho a Edsger Dijkstra era la didáctica de la matemática (y de la computación, como parte de esta). En este breve artículo, nos da lo que podría ser la «punta del ovillo» en búsqueda del por qué las matemáticas superiores (y, a veces, las no tan superiores) nos resultan tán difíciles de comprender y dominar.
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Por qué Juancito no puede entender
Hace unos años escuché una disertación sobre la estructura de las pruebas. Sin vacilar, el disertante se volvió muy gráfico y las pruebas se convirtieron en grafos dirigidos con flechas de los antecedentes a los consecuentes. [Mathematics Inc. hubiera comercializado el producto por aquellos días como Entendimiento Asistido por Computadoras Mediante Animación de Argumentos.] Luego de quince minutos el orador dirigió nuestra atención hacia el hecho de que algunas pruebas eran planas, en tanto que otras no lo eran. Luego, mostró cómo transformaciones simples de las pruebas en otras lógicamente equivalentes podían cambiar su «planaridad«; pero en vez de concluir que, por lo tanto, la planaridad de las pruebas no era probablemente un concepto relevante, se embarcó en un estudio de los argumentos intrínsecamente no-planos, etc.
Fue la disertación más absurda que he oído en años. (Por eso aún la recuerdo.) El pobre tipo era una grave víctima de su educación: confundía el grafo dirigido, como un subconjunto de los pares ordenados, con la representación gráfica de flechas entre puntos. [Si hubiera sido instruido sobre las matrices de incidencia, podría haber disertado sobre los eigenvalores de las pruebas.]
Esto es lo que nos sucede una y otra vez. Cuando se nos introduce un nuevo concepto se nos dan varios ejemplos de un contexto esperanzadoramente familiar, o se nos dan uno o dos modelos en los cuales el nuevo formalismo, sus objetos y sus operaciones pueden ser «entendidos». Y realmente se nos alienta a realizar esas interpretaciones para convencernos a nosotros mismos de que el nuevo formalismo «tiene sentido». Fallan, sin embargo, en advertirnos de que tales interpretaciones tienden a ser engañosas porque los modelos son sobreespecíficos; en que tales hábitos de entendimiento son totalmente desconcertantes cuando las visualizaciones que los acompañan desorientan a la imaginación y que la carga mental de moverse hacia y desde la fórmula y su interpretación, debe mejor evitarse. De hecho, uno solo puede esperar que, al aumentar la familiaridad con el formalismo, el modelo tranquilamente se esfume de nuestra conciencia.
Esto ya había comenzado cuando se nos enseñaron los números naturales. No aprendimos que 2 + 3 = 5, primero aprendimos -¡gráficamente!- que dos manzanas y tres manzanas son cinco manzanas, y luego para peras, para plumas, para gatos, árboles y elefantes. El modelo de la manzana es penosamente inadecuado, dado que, para dar lugar al producto, la manzana tiene que ser elevada al cuadrado, y por consiguiente -y afortunadamente- se desvanece; pero no antes de haber creado un obstáculo para los enteros negativos. Se puede argumentar que seguimos pagando el precio, esto es, si consideramos la invisibilidad del cero en el modelo de la manzana como la responsable de todas las complicaciones matemáticas causadas por considerar el 1 como el menor número natural. (En comparación con los griegos hemos sido afortunados: con sus segmentos de línea pudieron multiplicar muy poco, desafortunadamente lo suficiente como para no tirar su modelo. Y eventualmente la matemática griega murió por su pobreza conceptual y complejidad gráfica: una lección para todos nosotros.)
Dudo seriamente que el desvío a través del modelo de la manzana sea esencial para enseñar los enteros a niños pequeños, pero aún en tal caso, no veo la razón por la cual un proceso de aprendizaje que pueda ser apropiado para niños pequeños deba serlo también para la mente adulta. Y esta parece ser la asunción sobre la cual operan la mayoría de los escritores y muchos de los lectores adultos. Mi -triste- conclusión es que los patrones más difundidos de entendimiento no han sido seleccionados concienzudamente por su efectividad y pueden ser mejor descriptos como hábitos adictivos, muchos de los cuales merecen una advertencia de cirugía general.
Mi observación más común es ver gente que se siente más confortable con el específico innecesario. Cuando son confrontados a un conjunto parcialmente ordenado, piensan mentalmente «por ejemplo, los enteros». Mientras yo fui entrenado para evitar los ejemplos al leer un texto -dado que pueden ser superfluos y, en cualquier caso, distraen-, veo gente que se siente más incómoda fuando se enfrentan a un texto sin ejemplos. Gente que tiene dificultad en entender una construcción que contiene un parámetro natural k me ha asegurado que dicha parametrización presenta un obstáculo adicional que podrían remover sustituyendo inicialmente k por un valor pequeño, digamos 3. No tengo motivos para dudar de su palabra; el extraño fenómeno probablemente estaba conectado al hecho de que k no ocurría en un contexto muy aritmético, sino como la longitud de cadenas o la cantidad de arcos que confluyen en un vértice (contextos en los cuales están habituados a manejarse en términos de gráficos). De la misma forma una permutación «arbitraria» creó problemas similares: hubieran preferido una específica, posiblemente seguida de un comentario al final que indicara que la elección de la permutación no importaba realmente. Es muy extraño, hasta desconcertante, ver a gente perturbada cuando se dejan abiertas preguntas cuyas respuestas son irrelevantes.
Una observación final me sugiere que, de hecho, es culpa del sistema educativo. Recuerdo muy bien la introducción de la idea de que es tarea del profesor el motivar a sus estudiantes. (La recuerdo muy bien porque pensé que la idea era muy absurda.) Ahora encuentro jóvenes científicos educados bajo el régimen motivador, que tienen una desventaja notable: su habilidad para absorber información no motivada está limitada a unas 10 líneas. El objeto y su propósito son cosas diferentes, pero ellos no aprendieron a distinguirlo y ahora son incapaces de separar estos asuntos. Es un ejemplo atemorizador de cómo la educación puede infundir necesidades psicológicas que se vuelven una importante desventaja.
Austin, 5 de noviembre de 1986
prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Departamento de Ciencias de la Computación
Universidad de Texas
Austin, TX 78712-1188
Estados Unidos de América
En el blog de Javier Smaldone, se hace una reflexión del porqué es tan difícil aprender matemáticas, y para ello se basa en un artículo de Edsger Wybe Dijkstra en el que «nos da lo que podría ser la «punta del ovillo» en búsqueda del por qué las matemáticas superiores (y, a veces, las no tan superiores) nos resultan tán difíciles de comprender y dominar.»
uummm, yo creo que la razon de ser de la matematica es intrinseca a la razon de ser del humano, con esto quiero decir que aunque supere nuestros calculos, son nuestros calculos los que han dado lugar a ella, y en funcion de nuestro desarrollo se desarrollan los inalcanzables limites de la misma.
Por tanto es increible que el autor del texto pretenda que entendamos conceptos que no fueron procesados por nuestro cerebro con anterioridad, Quiza olvida que su mente suprema hace esas comparaciones ejmplos y metaforas inconscientemente, por que tiene una gran práctica en el manejo de esos conceptos,(como demuestra utilizando ejemplos en su disertacion, para que le entendamos) pero si lo que quiere es que olvidemos las ramificaciones irrelevantes en nuestra reflexión, entonces yo digo 5 por el culo te la hinco, y soy el nuevo profeta…
Pues no, vivan los ejemplos tontos, discurramos en lenguajes cada cual mas simbólico y abarcador, pero no olvidemos de donde partimos….
«sino como la longitud de cadenas o la cantidad de arcos que confluyen en un vértice (contextos en los cuales están habituados a manejarse en términos de gráficos)»
Creo que en la última palabra Dijkstra escribio graphs, que no son gráficos sino grafos por el contexto ;)
Por el otro lado Dijstra tiene mucha razon al querer quitar los ejemplos(particularidades) de las definiciones(Generalizaciones) pues al hacer nuestras comparaciones podemos llegar a conclusiones tan absurdas como:
Si Juan tiene fiebre, y La gripa da fiebre, entonces Juan tiene fiebre (Cosa que no es cierta, Juan puede tener cualquier otra enfermedad)
perdon :(
Se llama Dijkstra y la conclusion es «Juan tiene gripa»
Errores por falta de tiempo
JuanGo: En el original, en inglés, dice «pictures» (lo traduje, dado el contexto, como «gráficos»).
El artículo es interesante, sólo decir que «absorber» es con b. Con v es «absolver». Un saludo.
Gracias, Andrés, y perdón por la ofensa ortográfica. El documento ya fue corregido.
Pero nunca dijeron como enseñar bien matematicas, como es, no quiero echar a perder a mis hijos.
El no entender matematica parte de varias cosas. La educacion tanto en la casa como en el colegio. Saber estimular desde chicos a las personas para poder entenderla y no tenerle miedo y no tratarlo de tonto. Adrian Paenza da unas buenas aclaraciones al respecto en su libro «Matematica estas ahi?».
Creo que es un libro que merece la pena leer. (lo recomiendo mucho)
Los ejemplos en muchos casos seguramente nos juegan un graso favor ya que nos confunden o nos hacen ejemplarizar cuando no debemos.
Mi nivel de matemáticas es el de un ingeniero, no el de un matemático, pero para temas que no sean 100% abstractos, un ejemplo es 1000 veces más intuitivo y rápido que una explicación.
Y seguramente ahí está el problema, en la rapidez, la mayoria queremos más por menos, es decir, entenderlo con solo un vistazo.
(PD: quien corrige un V por una B en un artículo matemático? xdd)
Es una cuestión de hábito. El problema de las matemáticas es que la gente no está dispuesta a aprender un idioma cuya utilidad no está clara. Si en vez de enseñarnos en el colegio a resolver integrales, nos dijeran para qué sirven, creo que no costaría tanto emprender la tarea de acostumbrarnos a ellas.
Es importante la creacion de estrategias didácticas por parte de los maestros, que permitan motivar el aprendizaje,como las situaciones problemas…
en mi humilde opinion las matematicas son increiblemente utiles, pero la gran mayoria de las personas abandona el esfuerzo de aprender porque no comprende los origenes de las cosas que estudian.
me parece que poner en un contexto la enseñanza de las matematicas podria facilitar quebrar la barrera del aburrimiento sobre todo para derrumbar esas divisiones entre «materias» y poner todo el esfuerzo de aprender en un nivel mas humano donde se cruzen las razones de porque algo existe con su desarrollo a traves del tiempo, evitando la robotizacion del pensamiento
2 por 2 es 4, 3 por 3 es …. yo me pregunto, realmente querran enseñarnos las personas que estan formadas en la escuela de la repeticion, o estan pensando en que van a comer a la noche, o en mirar bailando por un sueño a la noche?
Mi hijo de 13 años participa en las olimpiadas de matematicas. Estoy buscando un colegio secundario, en capital, que este orientado fuertemente a las matematicas, cualquier dato sera muy agradecido!
Coincido en la importancia de la motivación, pero no en todos los niveles se puede recurrir al «porqué» de algunas cosas…
Quiero hacer dos comentarios.
Primero: en relacion al post es que me resulta extraño leer que el cero pertenece a los Naturales…cuando no es asi…al menos asi me lo enseñaron en la Universidad. Cuando queriamos considerar el cero al conjunto de los naturales debiamos agregarle un cerito como superindice ( N° ). Ademas en induccion matematica cuando se quiere probar que una expresion se satisface para todos los naturales partimos por probar que se cumple para n=1 (o sea el primer natural).
Segundo: Altamente recomendable leer el libro «Inteligencia matematica» de Roberto Araya para tener una vision del problema de los aprendizajes matematicos como consecuencia de una mala didactica. Aca les dejo un documento en PDF escrito por el que se llama «Como entender una idea matematica»
http://www.educoas.org/portal/bdigital/lae-ducacion/136-138/
Saludos
Es que no todos tienen la inteligencia desarrollada para la matemática. Eso es así y deberíamos tratar de comprenderlo, asi mismo no todos tenemos desarrollada la inteligencia matemática pero gracias que existen otro tipo de inteligencias, Gadner habla de inteligencias multiples y es esto lo que deveriamos entender para poder brindar el conocimiento matematico. Y tambien lograr una vajada del conocimiento a un nivel en que todos seamos capases de comprenderlo, sin dudas la matemática es atractiva por donde vayamos la encontramos hasta en las cosas mas simples ella esta. Lo que deveriamos hacer es lograr que sea importante para la vida como realmente lo es. Les dejo un sitio web que trata el tema.
http://www.matematicatractiva.com.ar/
siempre he insistido que para entender las matematicas ante todo deben estudiarse con metodologia, en la eduacion tradicional se enseña al alumno a resolver cualquier cantidad de ejercicios, pero inicialmente no se les informa como deben estudiarlo para que el conocimiento quede de por vida. gracias.
Sabe por no entendemos matemática, por que los profesores
1. La mayoría no somos de vocación, sino por necesidad, etc.
2. No manejamos las estrategias metodológicas adecuadas para matemática, sino al azar
3. No somos investigadores, tampoco actualizados
4. La clave está en educación primaria, en el Perú en educación endicada no enseñan profesores de especialidad, a la mayoría de los profesores de primaria no le gusta matemática, de ellos que se puede esperar, en el mencionado nivel desde ya, debe orientar profesores de especialidad
5. Los docentes no son creativos, tampoco dedicados ni motivadores, piensan que los estudiantes son igual que ellos y presentan problemas traumatizantes, ni ellos mismos no saben como se resuelve, etc., etc. Si estoy equivocado, disculpe por mis expresiones.
aun no logro comprender en su gran totalidad la racionalidad de las matematicas pero aunque el autor maneja un lenguaje muy tecnico, lo cual presenta dificultades al asimilar su posicion, pienso q sus argumentos son muy validos de echo le felicito porque soy un joven q busca una motivacion para las matematicas debido a que encuentro gran dificultad en ella, y el argumento me fue de gran ayuda, muchas gracias.
seria de gran ayuda para muchos que argumentara sobre tecnicas para alcanzar el exito en las matematicas…gracias.
JuanGO:
De hecho gráficos tiene más sentido, ya que habla del error de asociar las particularidades con generalizaciones. Además, cuando se enseña Teoría de Grafos suele ser acompañado de varios ejemplos gráficos, aún cuando éstos no dicen mucho acerca de un grafo ya que pueden ser dibujados de múltiples maneras.
la racionalidad de las matematicas aveces es dificil de entender..
creo que constancia y dedicacion se puede lograr
saludos
sebastian
Yo creo que cada uno tiene su inteligencia, yo por ejemplo se me dan muy bien los idiomas, pero ls matemáticas no.
Cada uno tendría que estudiar dentro de una base lo que quiere
la matematicas es bonita pero para los que le entienden y la encuentran facil pero a los que no le entienden como yo se nos hace dificil y complicada