Una de las cuestiones que preocupaba mucho a Edsger Dijkstra era la didáctica de la matemática (y de la computación, como parte de esta). En este breve artículo, nos da lo que podría ser la “punta del ovillo” en búsqueda del por qué las matemáticas superiores (y, a veces, las no tan superiores) nos resultan tán difíciles de comprender y dominar.

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Por qué Juancito no puede entender

Hace unos años escuché una disertación sobre la estructura de las pruebas.
Sin vacilar, el disertante se volvió muy gráfico y las pruebas se convirtieron
en grafos dirigidos con flechas de los antecedentes a los consecuentes. [Mathematics Inc.
hubiera comercializado el producto por aquellos días como Entendimiento Asistido
por Computadoras Mediante Animación de Argumentos.] Luego de quince minutos
el orador dirigió nuestra atención hacia el hecho de que algunas pruebas eran
planas, en tanto que otras no lo eran. Luego, mostró cómo transformaciones simples
de las pruebas en otras lógicamente equivalentes podían cambiar su “planaridad“;
pero en vez de concluir que, por lo tanto, la planaridad de las pruebas no era probablemente un concepto
relevante, se embarcó en un estudio de los argumentos intrínsecamente no-planos, etc.

Fue la disertación más absurda que he oído en años. (Por eso aún la recuerdo.)
El pobre tipo era una grave víctima de su educación: confundía el grafo dirigido, como
un subconjunto de los pares ordenados, con la representación gráfica de flechas entre puntos.
[Si hubiera sido instruido sobre las matrices de incidencia, podría haber disertado
sobre los eigenvalores de las pruebas.]

Esto es lo que nos sucede una y otra vez. Cuando se nos introduce un nuevo concepto
se nos dan varios ejemplos de un contexto esperanzadoramente familiar, o se nos dan
uno o dos modelos en los cuales el nuevo formalismo, sus objetos y sus operaciones
pueden ser “entendidos”. Y realmente se nos alienta a realizar esas interpretaciones
para convencernos a nosotros mismos de que el nuevo formalismo “tiene sentido”. Fallan,
sin embargo, en advertirnos de que tales interpretaciones tienden a ser
engañosas porque los modelos son sobreespecíficos; en que tales hábitos
de entendimiento son totalmente desconcertantes cuando las visualizaciones
que los acompañan desorientan a la imaginación y que la carga mental de moverse hacia
y desde la fórmula y su interpretación, debe mejor evitarse. De hecho, uno solo puede esperar
que, al aumentar la familiaridad con el formalismo, el modelo tranquilamente
se esfume de nuestra conciencia.

Esto ya había comenzado cuando se nos enseñaron los números naturales. No aprendimos que
2 + 3 = 5, primero aprendimos -¡gráficamente!- que dos manzanas y tres manzanas son cinco manzanas, y luego
para peras, para plumas, para gatos, árboles y elefantes. El modelo de la manzana es
penosamente inadecuado, dado que, para dar lugar al producto, la manzana tiene
que ser elevada al cuadrado, y por consiguiente -y afortunadamente- se desvanece; pero
no antes de haber creado un obstáculo para los enteros negativos. Se puede argumentar que
seguimos pagando el precio, esto es, si consideramos la invisibilidad del cero en el modelo
de la manzana como la responsable de todas las complicaciones matemáticas causadas
por considerar el 1 como el menor número natural. (En comparación con los griegos hemos sido afortunados:
con sus segmentos de línea pudieron multiplicar muy poco, desafortunadamente lo suficiente como
para no tirar su modelo. Y eventualmente la matemática griega murió por su pobreza conceptual y complejidad
gráfica: una lección para todos nosotros.)

Dudo seriamente que el desvío a través del modelo de la manzana sea
esencial para enseñar los enteros a niños pequeños, pero aún en tal caso,
no veo la razón por la cual un proceso de aprendizaje que pueda ser apropiado
para niños pequeños deba serlo también para la mente adulta.
Y esta parece ser la asunción sobre la cual operan la mayoría de los
escritores y muchos de los lectores adultos. Mi -triste- conclusión es que los
patrones más difundidos de entendimiento no han sido seleccionados concienzudamente
por su efectividad y pueden ser mejor descriptos como hábitos adictivos, muchos
de los cuales merecen una advertencia de cirugía general.

Mi observación más común es ver gente que se siente más confortable con
el específico innecesario. Cuando son confrontados a un conjunto parcialmente
ordenado, piensan mentalmente “por ejemplo, los enteros”. Mientras yo fui
entrenado para evitar los ejemplos al leer un texto -dado que pueden ser
superfluos y, en cualquier caso, distraen-, veo gente que se siente
más incómoda fuando se enfrentan a un texto sin ejemplos. Gente que tiene
dificultad en entender una construcción que contiene un parámetro natural k me
ha asegurado que dicha parametrización presenta un obstáculo adicional que podrían
remover sustituyendo inicialmente k por un valor pequeño, digamos 3. No
tengo motivos para dudar de su palabra; el extraño fenómeno probablemente
estaba conectado al hecho de que k no ocurría en un contexto muy aritmético,
sino como la longitud de cadenas o la cantidad de arcos que confluyen en un vértice
(contextos en los cuales están habituados a manejarse en términos de gráficos). De la misma forma
una permutación “arbitraria” creó problemas similares: hubieran preferido una específica,
posiblemente seguida de un comentario al final que indicara que la elección de
la permutación no importaba realmente. Es muy extraño, hasta desconcertante,
ver a gente perturbada cuando se dejan abiertas preguntas cuyas respuestas son irrelevantes.

Una observación final me sugiere que, de hecho, es culpa del sistema educativo.
Recuerdo muy bien la introducción de la idea de que es tarea del profesor el motivar a
sus estudiantes. (La recuerdo muy bien porque pensé que la idea era muy absurda.)
Ahora encuentro jóvenes científicos educados bajo el régimen motivador, que tienen una
desventaja notable: su habilidad para absorber información no motivada está limitada a
unas 10 líneas. El objeto y su propósito son cosas diferentes, pero ellos no aprendieron
a distinguirlo y ahora son incapaces de separar estos asuntos. Es un ejemplo
atemorizador de cómo la educación puede infundir necesidades psicológicas que se vuelven
una importante desventaja.

Austin, 5 de noviembre de 1986

prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Departamento de Ciencias de la Computación
Universidad de Texas
Austin, TX 78712-1188
Estados Unidos de América