El camino del monje

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Acá va otro problema que, según cómo se plantee, puede resultar fácil o difícil. (Y no, no tiene ningún “truco” ni “trampa“.)

Un monje parte al amanecer de cierto día desde su monasterio, que se encuentra al pié de una montaña, hacia la cima de la misma. En su camino asciende por un angosto sendero, quizás deteniéndose cada tanto para recuperar el aliento o para apreciar el paisaje. Al cabo de varias horas, finalmente alcanza la cima.

Una vez allí, adopta la posición de loto y permanece meditando el resto del día y también la noche siguiente. Al amanecer del nuevo día, se levanta y emprende el camino de regreso al monasterio, a través del mismo sendero por el que había ascendido.

Podemos observar que:

  • El tiempo empleado en ascender muy probablemente haya sido mayor que el del descenso.
  • La hora de partida muy probablemente no haya sido exactamente la misma en ambos días.
  • La velocidad del monje no ha sido constante (en algunos momentos puede haber caminado más rápido o más lento y seguramente se detuvo varias veces en su camino).

Sin embargo, la tesis es que necesariamente debió atravesar algún punto del camino exactamente a la misma hora (con un día de diferencia). ¿Puede el lector explicar por qué?

Algunas aclaraciones:

  • No importa si los puntos de partida/llegada (el lugar del monasterio de donde salió y adonde llegó) no son exactamente el mismo.
  • Consideramos al sendero lo suficientemente angosto, es decir, no importan los desplazamientos laterales. El camino puede ser sinuoso, pero lo consideramos una línea.
  • La condición más importante es que el camino sea lo suficientemente largo (recordemos que hablamos de “varias” horas).
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15 Comentarios.

  1. La condición de que el camino debe ser lo suficientemente largo es fundamental para que se de la siguiente condición: que exista un perido de tiempo T dentro del cual el monje haya estado caminando ambos días. Por ejemplo si llevó a cabo el ascenso entre las 5:00 am y las 7:30 am y el descenso entre las 5:15 am y las 7:00 am, este perido T va de las 5:15 am a las 7:00 am.

    Si se da esta condición, puedo asegurar que debió atravesar algún punto del camino exactamente a la misma hora. Más aún, atravesó un único punto del camino exactamente a la misma hora.

    Supongamos que tenemos filmados ambos viajes (el ascenso y el descenso) con una cámara que simultaneamente puede filmar el monasterio y la cima de la montaña. Si proyectamos ambas filmaciones, sincronizadas en el tiempo y solapadas, veremos que el monje sale del monasterio y 15 minutos más tarde (siguiendo con el ejemplo anterior), veremos al mismo monje (un día más viejo) emprender el regreso desde la cima de la montaña. En un momento dado el camino de ambos monjes se cruzará. Ese es el único punto del camino que el moje atraviesa ambos días a la misma hora.

    Espero les aya gustado mi solución!

    Juanjo

  2. ¡Excelente, Juanjo!

    Otra forma de “solapar” las dos caminatas, es imaginar a dos monjes el mismo día, uno partiendo desde el monasterio y otro desde la cima (no necesariamente a la misma hora).

    Si el trayecto es lo suficientemente largo (como para que uno no llegue hasta que haya partido el otro), seguramente se cruzarán en un punto del trayecto.

    Es curioso (al menos para mí) que con el planteo original esto no sea evidente, y viéndolo de esta forma resulte trivial.

  3. yo lo veo asi, “el camino debe ser lo suficientemente largo”, entonces supongamos dos personas parten de distintos expremos de un camino al amaneceer, uno puede partir 7:00 y el otro a las 7:30, no importa ya que el camino es largo entonces uno no llega antes de que el otro salga, en un momento del tiempo dado se van a cruzar en el camino, es lo mismo si parten en diferentes dias, ese va a ser el momento en que el monje haya pasado por el mismo punto con un dia de diferencia

  4. según yo le veo es algo mucho mas fácil.


    Una vez allí, adopta la posición de loto y permanece meditando el resto del día y también la noche siguiente. Al amanecer del nuevo día, se levanta y emprende el camino de regreso al monasterio, a través del mismo sendero por el que había ascendido.”

    cuando dice que estuve el resto del dia y la noche siguiente implica que el dia despues de su llegada lo paso completo en la misma posición.

    El punto de llegada del viaje de ida es el mismo punto de partida del viaje de vuelta, asi que paso por ese mismo punto dos veces con un dia de diferencia

  5. LLego tarde para responder :(
    Este problema me sonaba bastante y buscando un poco resulta que este acertijo tiene algo de historia El teorema del punto fijo (que asi se llama) fué demostrado cientificamente en 1912 por L.E:Brouwer pero descubierto mucho antes por el monje de la adivinanda.
    Porcierto magnifico el blog
    Un saludo

  6. Supongamos un gráfico x/y donde x=tiempo e y=altura, supongamos las dos líneas (no constantes, pero obligatoriamente contínuas) que representan el viaje de ida y de vuelta respectivamente.
    Es imposible dibujarlas sin levantar el lápiz (dado que son contínuas, porque el monje en ningún momento se esfuma, aunque esté descansando, el gráfico en ese momento sería una “meseta”). Como no se puede levantar el lápiz, para llegar al destino y al punto de origen, en cada recorrido, obligatoriamente en algún momento deberemos cruzar la otra línea. Ese punto de coincidencia será único.

  7. Permintanme difererir de Ustedes, pero la tesis planteada dice que pasan por el mismo punto a la misma hora con un día de diferencia, por lo que me parece que “El teorema del punto fijo” no satisface completamente dicha tesis, porque aunque garantiza que pasará dos veces por el mismo punto, no puede garantizar que lo haga a la misma hora debido a que el teorema en cuestión no toma en cuenta la variable del tiempo.

    Por lo tanto creo que mi teoría anteriormente expuesta tiene mas sentido

  8. Bueno,puede ser q haya estado en el mismo lugar a la misma hora todo depende de un dato que no tenemos.El monje tomaba ACTIVIA??
    saludossss!!!!

  9. Estimado Pablo. Como matemática te puedo decir que SÍ es aplicable el teorema del punto fijo de Brouwer, puesto que el tiempo sería una dimensión más. Un poco especial, es cierto, pero no altera para nada lo fundamenteal del resultado.

    Gus. Tu respuesta no da unicidad al problema, pues podrían coincidir dos “mesetas”.

    Saludos y perdonad si parezco una sabionda.

  10. la explicaciòn de Javier es la mas sencilla de todas.

  11. El gran juego. « matemaTICs - pingback on 14 de Enero de 2008 @8:52
  12. este problema es muy sencillo depues de saber las pautas a seguir

  13. pues segun lo veo en el unico punto donde se cruza a la misma hora con un dia de diferiencia es el PUNTO DE PARTIDA:

    1-el punto de partida del dia uno es el monarterio, y la hora es el amanecer del primer dia

    2-el punto del segundo dia es la cima de la montaña ,y la hora es el amanecer del segundo dia

  14. En realidad es simple:
    O bien el lugar es la cima (comienza a volver a una hora posterior en la que llegó)
    O bien es el monasterio (llega antes a una hora anterior a la que salió)
    O bien es cualquier lugar intermedio (pues no se desmaterializa al caminar)

  15. Si consideramos las Hipótesis siguientes Velocidad es =k, y la distancia = K , queda como resultado que Tr1 (tiempo de recorrido 1 Subida) = – Tr2 (Bajada)por lo tanto si consideramos límites para Tr12 0…1 y Tr2 -1…0 Siempre convergirán al 50 % no importa el tiempo y la distancia

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