La consigna dice: «Entre aquí, y siga el camino hacia la salida. Pase a través de las esferas en orden rojo, azul, rojo, azul, rojo, azul y así sucesivamente». Lo usual cuando alguien se enfrenta a este tipo de problemas, es que intente -como quien realmente entra físicamente a un laberinto- recorrer distintos caminos, volviendo hacia atrás uno o más pasos al encontrarse que por el actual no puede llegar a la salida. Vamos a analizar una forma bastante interesante de resolverlo, utilizando distintas estrategias y viendo a dónde nos conduce cada una. (Aunque sería útil que primero dedicara unos minutos a intentar resolverlo).

Una aclaración se hace necesaria: cuando el enunciado dice «pase a través de las esferas», significa que no se puede «tocar» una esfera y retroceder, sino que debe pasarse sobre ella, quedando del otro lado (siendo imposible volver directamente por el mismo camino, ya que se repetiría el color).

Análisis bottom-up

Esta estrategia de análisis («bottom-up», «ascendente» o «de abajo hacia arriba») consiste en examinar el objetivo y buscar el último paso necesario para llegar a él. En el caso de nuestro laberinto, este es obvio:

Esto es: para salir del laberinto, debemos atravesar la esfera roja en el sentido que marca la flecha. Ahora, nos preguntamos nuevamente: ¿qué paso podemos realizar para llegar a esto? Puesto que la última esfera es roja, la anterior debe ser azul. Nuevamente, no tenemos más que una opción:

Nuevamente nos preguntamos: ¿cómo podemos llegar hasta aquí? Evidentemente, pasando por la única esfera roja que antecede a la azul que hemos cruzado:

Vamos a abreviar algunos pasos, ya que en todos ellos la esfera anterior de distinto color es única. Razonando de esta forma llegamos a la siguiente situación:

¿Qué sabemos hasta aquí? Que cualquiera sea el recorrido que hagamos dentro del laberinto, para salir de él deberemos seguir el trayecto marcado por las flechas. ¿Y cómo podemos llegar a esta situación? Encontramos que esta vez no hay una única esfera azul que anteceda a la roja que inicia el trayecto, sino dos. Entonces, claramente, las únicas dos posibilidades son las siguientes:

En este punto es importante detenernos: podemos decir que hemos reducido el problema de salir del laberinto, al problema de pasar por alguna de las dos esferas azules, en el sentido indicado por las flechas (ya que, si logramos esto, podremos salir siguiendo el camino que ya hemos trazado según el análisis anterior).

Dicho de otra forma: podemos dejar de lado por el momento el problema original. Hemos cambiado el problema de llegar desde un punto A a un punto C, por el problema de llegar desde A hasta un punto intermedio B (ya que sabemos cómo llegar luego desde B hasta C).

Análisis top-down

Esta estrategia («top-down», «descendente» o «de arriba hacia abajo») es la que nos resulta más natural e intuitiva: partir desde el comienzo y tratar de determinar los pasos subsiguientes, en el orden normal. Si comenzamos por la entrada del laberinto, veremos que (ya que debemos alternar los colores) los primeros cinco pasos son evidentes:

En este punto se nos presentan dos opciones para atravesar esferas azules:

Y aquí, nos encontramos con una situación clave. Anteriormente habíamos reducido el problema a lograr pasar por alguna de estas dos esferas azules, pero en el sentido contrario al que llegaríamos al entrar al laberinto:

Un nuevo problema

En este punto, podemos formular un nuevo (sub) problema: invertir el sentido de circulación dentro del laberinto. Esto es, pasar por un lugar inicialmente en un sentido, y luego en otro. Por lo visto anteriormente, esta es la clave para resolver el problema inicial.

En este punto no parece haber estrategias para buscar una solución. Pero recorrer el laberinto (siempre considerando la alternancia de colores) para lograr cambiar el sentido de circulación es, sin dudas, un problema más simple que el original.

Sin demasiado esfuerzo, es bastante fácil encontrar la secuencia de pasos que permite lograr este (sub) objetivo:

La solución

Reunamos los resultados de los tres análisis que hemos realizado hasta el momento.

Entrar al laberinto:

Invertir el sentido de circulación:

Salir del laberinto:

La solución es unir estos tres pasos. Algo realmente muy fácil de hacer. ¿Verdad?

El por qué de este artículo

El problema del laberinto es interesante, pero no es más que una excusa. El objetivo de este artículo fue mostrar como utilizando técnicas bastante sencillas y de forma metódica y ordenada (en vez de la forma intuitiva con la que la mayoría encara este tipo de problemas) puede encontrarse una solución sin requerir ningún tipo de «genialidad».

Este es apenas un ejemplo simple, pero sirve para ilustrar el tipo de recursos que se utilizan para la resolución algorítmica de problemas (el núcleo de las carreras relacionadas con la programación). Todos los años, miles de jóvenes se inscriben en carreras universitarias de computación pensando que aprenderán «todo» sobre computadoras, cuando en realidad su tarea se parece mucho más al tipo de análisis esbozado en este artículo. Uno de los pioneros de la programación, Edsger Dijkstra lo resumía diciendo que «la ciencia de la computación no trata sobre computadoras más de lo que la astronomía trata sobre telescopios».

Un problema de solución «indefinida»

Este es el problema que le presentaba dificultades a mi hijo:

(14) Cuando Pedro iba a colocar sus fotos en un álbum, se dio cuenta de que si acomodaba 4 en cada página, solo le quedaban dos para la última página. Lo mismo le ocurría si colocaba 5 o 6 fotos en cada página.

a) ¿Cuántas fotos tiene Pedro?

b) ¿Cuántas debe colocar en cada página para que todas tengan la misma cantidad y no le sobre ninguna?

Al leerlo, lo primero que noté —además de la mezcla entre el uso indistinto del numeral (5) y el nombre (dos) para referirse a los números— es que disponer fotos en un álbum no parece ser un ejemplo muy indicado para los niños de estos tiempos, la mayoría de los cuales difícilmente hayan realizado o visto realizar tal tarea.

Pero vayamos al centro de asunto: Mi hijo me reclamaba que la pregunta «a)» no podía ser respondida. Según él, faltaba saber cuántas páginas tenía el álbum y, en caso contrario, el resultado era «indefinido» (usó exactamente esa expresión). Y tenía razón.

¿No es evidente? Para algunos, quizá no. Pero considere esta respuesta: Pedro tiene solamente 2 fotos. ¿No es cierto que si desea disponerlas de a 4, 5 o 6 por página, de todas formas acabará teniendo sólo 2 fotos en la última?

La cuestión es que el problema «(14)» corresponde a la ejercitación del tema «mínimo común múltiplo«. Por lo tanto, parece que se da por sentado que debe resolverse usando ese —y sólo ese— concepto. Sin duda, la respuesta que tenían en mente tanto los autores del libro como el docente de mi hijo era «62«, esto es, el mínimo común múltiplo entre 4, 5 y 6 (60), más 2. Y así se espera que respondan los niños. Lisa y llanamente, una bestialidad.

Mi hijo no estaba tan equivocado. Entre su «faltan datos«, y su «indefinido» está la clave del asunto: la respuesta a la pregunta «a)» no es un número, sino una función. Más precisamente, la función y = 60 . x + 2. Esto no es un detalle menor. Se le está pidiendo al alumno (un niño de 12 años) que responda con un número, un valor puntual, cuando en realidad la única respuesta a la que puede arribarse mediante el razonamiento es una función, esto es, una cantidad infinita de números (en este caso, una recta).

Y para completar el desaguisado, luego viene la pregunta «b)«. Si asumimos la respuesta esperada por los autores y el docente para el punto «a)«, 62, esta pregunta tiene como posibles respuestas «62», «31», «2» y «1». Y si tomamos en cuenta la respuesta correcta, la función descrita anteriormente, contestar a este punto excede los conocimientos de los alumnos (y lamentablemente, tal parece, también la de los educadores en cuestión).

Ante semejante descubrimiento, seguí revisando la ejercitación propuesta en el libro. Increiblemente, encontré el mismo tipo de aberración reiterada por doquier. He aquí otro ejemplo similar:

El número de alumnos de primer ciclo de un colegio puede contarse de 3 en 3, de 4 en 4 y de 5 en 5. Si la cantidad de matriculados supera 2 centenas, ¿cuántos alumnos hay?

La respuesta, en este caso, es: Todos los valores de la función y = 60 . x, que sean mayores que 200. Puede haber 240 alumnos, pero también 300, 360, 420 y así hasta el infinito. Y si algún niño piensa otra cosa, estará mal (no habrá prestado atención o será un poco lento).

Así es que al menos a los autores del libro y el docente que lo seleccionó en este caso, parecen desconocer la diferencia entre un número y una función. No es un detalle menor, ni puede ser soslayado diciendo que se les pide a los niños respuestas «acordes a su edad», para luego en cursos superiores ir puliendo los conceptos. Es una aberración, ni más, ni menos.

Intente ponerse por un instante en la situación de un niño de 12 años que se enfrenta a estos problemas. Si actúa «mecánicamente» (tal como parecen esperarlo sus educadores), simplemente aplicará el procedimiento que se encuentra estudiando en ese momento —mínimo común múltiplo, en este caso— y obtendrá la solución «correcta». Pero si intenta razonar, se encontrará con que el problema no tiene una solución que él conozca (de ahí el «indefinido» que usaba mi hijo en su desazón). Y si recurre al docente, seguramente este le indicará que no tiene que darle tantas vueltas a la cosa, que «la forma» de resolver el problema es aplicar lo que él le acaba de explicar. Y punto. ¿Puede usted imaginar el daño que esta situación —reiterada quién sabe cuántas veces durante la vida escolar— causa en las mentes de los niños? Difícilmente.

Definiciones matemáticas

El asunto no se limita al planteo de problemas cuya solución es de una naturaleza diferente a la que se exige, ni mucho menos. Movido por la curiosidad, decidí revisar cómo le enseñaron a mi hijo qué es el «mínimo común múltiplo». Me encontré con esto:

Múltiplo común menor

Jaime debe tomar dos medicamentos. Uno rojo, cada cuatro horas, y otro azul, cada seis horas. Si tomó ambos a las 6:00, ¿en cuántas horas volverá a tomar los dos al mismo tiempo?

Para determinar en cuántas horas volverá a tomar los dos medicamentos a la vez, es necesario hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 6. Es decir, el menor de los múltiplos comunes de esos números.

Hay varias cuestiones aquí que vale la pena resaltar. La primera es que se define el «mínimo común múltiplo«, pero el título dice «múltiplo común menor«. Amén del cambio de orden de las palabras, «mínimo» y «menor» —en matemática— no son sinónimos ni mucho menos; pero se los utiliza aquí de forma intercambiable. La segunda —y mucho más importante— es cómo está dada la definición.

En vez de definir primero —en los términos más claros posibles— el concepto matemático en cuestión, se comienza dando un ejemplo. Eso desvía la atención del niño, enfocándola no en el concepto a comprender, sino en los detalles particulares del ejemplo elegido. ¿Puede imaginar qué va pasando por la cabeza de un niño de 12 años, a medida que va leyendo esto? Quizá cosas como las siguientes:

Múltiplo común menor: Jaime debe domar dos medicamentos. Uno rojo, cada cuatro horas, y otro azul, cada seis horas…

• El múltiplo común menor tiene algo que ver con medicamentos…
• ¿Jaime tendrá leucemia, como mi hermanita?
• Rojo cada cuatro, azúl cada seis…

Si tomó ambos a las 6:00, ¿en cuántas horas volverá a tomar los dos al mismo tiempo?…

• Las 6. ¡Qué temprano! Seguro se tuvo que despertar para tomar los remedios…
• ¿El problema es que los tome a los dos juntos? Seguro, porque mamá la otra vez me dijo que me los daba separados para que no me hicieran mal a la panza…
• Y… en una de esas debería empezar de nuevo al otro día, a las 6, tomando los dos juntos, ¿no?

Y si cree que exagero, repito: un niño de 12 años. Los ejemplos distraen. Y se elige utilizarlos justo en el momento en que se quiere introducir un nuevo concepto y se requiere de toda la atención del alumno (y ni qué decir sobre elegir un ejemplo que involucra enfermedades y medicamentos). Sólo después de pasar por esto, se da la definición de «mínimo común múltiplo» y, finalmente, el algoritmo para calcularlo.

El gran científico de la computación y matemático Edsger Dijkstra se ocupó mucho de estas cuestiones, como por ejemplo en su artículo «¿Por qué Juancito no puede entender?«.

Los ignorantes

El libro en cuestión se llama «Matemática 1» y corresponde a la «Serie Conecta 2.0» de la editorial Ediciones SM Argentina (que tiene 232 páginas y, a la fecha, cuesta $127).

Vaya desde aquí mi más enérgico repudio a los ignorantes que escribieron ese texto, a quienes lo revisaron y aprobaron, y —por sobre todo— a aquellos docentes que lo eligen para enseñar los contenidos de matemática del secundario. Y, junto con él, mi profunda preocupación por el daño que se está ocasionando en la mente de los niños.

Y una aclaración final —luego de recibir los primeros comentarios sobre este artículo. El problema más grave no es que haya libros como este, sino que muchos docentes los elijan, pudiendo optar por otros que no tengan estos errores bestiales. Evidentemente, ignoran lo que supuestamente enseñan.

Tal vez la esencia de la perspectiva liberal se podría resumir en un nuevo decálogo, que no pretende sustituir al anterior, sino sólo completarlo. Los Diez Mandamientos que, como profesor, yo desearía difundir, podrían formularse como sigue:

1. No te sientas absolutamente seguro de nada.
2. No creas que vale la pena ocultar pruebas, la evidencia inevitablemente saldrá a la luz.
3. Nunca intentes desalentar el pensamiento, porque seguramente lo lograrás.
4. Cuando encuentres oposición, incluso si proviene de tu cónyuge o hijos, intenta superarla con argumentos y no por autoridad, ya que la victoria que se basa en la autoridad es irreal e ilusoria.
5. No sientas respeto por la autoridad de otros, ya que siempre encontrarás otras autoridades que los contradigan.
6. No uses el poder para suprimir opiniones que creas dañinas, ya que si lo haces las opiniones te suprimirán a ti.
7. No temas ser excéntrico en tus opiniones, ya que cada opinión ahora aceptada alguna vez fue excéntrica.
8. Encuentra más placer en el disenso inteligente que en la aceptación pasiva, pues si valoras la inteligencia como deberías, lo primero implica un acuerdo más profundo que lo último.
9. Sé escrupulosamente veraz, aunque la verdad sea inconveniente, ya que será aún más inconveniente si intentas ocultarla.
10. No sientas envidia por la felicidad de los que viven en un paraíso de tontos, pues sólo un tonto creería que eso es la felicidad.

Extraído del artículo «La mejor respuesta al fanatismo: Liberalismo», de Bertrand Russell. Publicado en The New York Times el 16 de diciembre de 1951.

A continuación, la transcripción:

Una última pregunta: supongamos profesor Russell… que esta grabación sea vista por nuestros descendientes, como los Manuscritos del Mar Muerto, en un período de cientos de años.

¿Qué piensa usted que valdría la pena decirle a esa generación sobre la vida que usted vivió y las lecciones que usted de ella aprendió?

Me gustaría ver dos cosas: una intelectual y una moral.

Lo intelectual que me gustaría decirles es esto: cuando estés estudiando cualquier tema o considerando cualquier filosofía, pregúntate a ti mismo únicamente: ¿cuáles son los hechos? ¿y cuál es la verdad que los hechos sostienen? Nunca te dejes desviar, ya sea por lo que tú deseas creer o por lo que crees que te traería beneficio si así fuese creído. Observa únicamente e indudablemente cuáles son los hechos. Eso es lo intelectual que quisiera decir.

Lo moral que quisiera decirles es muy simple. Debo decir: El amor es sabio, el odio es estúpido. En este mundo, que cada vez se vuelve más y más estrechamente interconectado, tenemos que aprender a tolerarnos unos a los otros, tenemos que aprender a aceptar el hecho de que alguien dirá cosas que no nos gustarán. Solamente podemos vivir juntos de esa manera. Si vamos a vivir juntos, y no a morir juntos, debemos aprender un poco de caridad y un poco de tolerancia, que es absolutamente vital para la continuación de la vida humana en este planeta.

Un monje parte al amanecer de cierto día desde su monasterio, que se encuentra al pié de una montaña, hacia la cima de la misma. En su camino asciende por un angosto sendero, quizás deteniéndose cada tanto para recuperar el aliento o para apreciar el paisaje. Al cabo de varias horas, finalmente alcanza la cima.

Una vez allí, adopta la posición de loto y permanece meditando el resto del día y también la noche siguiente. Al amanecer del nuevo día, se levanta y emprende el camino de regreso al monasterio, a través del mismo sendero por el que había ascendido.

Podemos observar que:

• El tiempo empleado en ascender muy probablemente haya sido mayor que el del descenso.
• La hora de partida muy probablemente no haya sido exactamente la misma en ambos días.
• La velocidad del monje no ha sido constante (en algunos momentos puede haber caminado más rápido o más lento y seguramente se detuvo varias veces en su camino).

Sin embargo, la tesis es que necesariamente debió atravesar algún punto del camino exactamente a la misma hora (con un día de diferencia). ¿Puede el lector explicar por qué?

Algunas aclaraciones:

• No importa si los puntos de partida/llegada (el lugar del monasterio de donde salió y adonde llegó) no son exactamente el mismo.
• Consideramos al sendero lo suficientemente angosto, es decir, no importan los desplazamientos laterales. El camino puede ser sinuoso, pero lo consideramos una línea.
• La condición más importante es que el camino sea lo suficientemente largo (recordemos que hablamos de «varias» horas).

Lamentablemente, muchas veces dichos razonamientos (propios y ajenos) son falaces. Una falacia lógica es un razonamiento aparentemente válido («lógico«), cuya conclusión no se desprende de la verdad o falsedad de las premisas. Estructuralmente, consiste en la aplicación incorrecta de un principio lógico válido o la aplicación de uno inexistente.

Las falacias son especialmente peligrosas cuando, basándose en premisas o argumentos válidos, nos llevan a realizar (o aceptar) conclusiones que no lo son. Algunas veces, ocurren producto de errores o por ignorancia, pero muchas otras son utilizadas intencionalmente con fines de distracción, confusión o engaño. A continuación analizaremos brevemente las más comunes.

Argumento dirigido al respeto

La forma lógica de esta falacia (llamada «argumentum ad verecundiam«) es:

1. El sujeto A afirma B.
2. A goza de prestigio o credibilidad.
3. Entonces, B es cierto.

Desde los simples «lo dijeron en la televisión» y «salió en el diario«, hasta el común «un respetado investigador dice…«, muchas veces son tomados (sin más) como prueba de veracidad. Aún en ámbitos académicos, suele oirse «lo dijo el profesor«, o «lo dice el libro«, como única justificación del por qué de una afirmación.

Es correcto valorar las premisas (los argumentos, la evidencia), teniendo en cuenta el prestigio o reconocimiento de quien las afirma. Lo incorrecto es aceptar de plano una deducción, baśandose solamente en la autoridad de alguien.

Argumento dirigido al pueblo

Esta falacia (llamada «argumentum ad populum«) es una variante de la anterior, cuya forma es:

1. Se dice que la mayoría de la gente afirma B.
2. Por tanto, B es cierto.

Expuesta de esta manera, parece rídicula. Sin embargo, ¿cuántas veces se nos intenta convencer de que algo es cierto porque mucha gente opina que es así?

En particular, esta falacia es inmovilista ya que, ante la posibilidad de algo innovador, siempre podrá argumentarse que «no lo ha hecho nadie» o que tal cosa «no existe en ninguna otra parte» (variantes de la misma falacia).

Argumento dirigido al hombre

Esta falacia (llamada «argumentum ad hominem«) tiene la siguiente forma:

1. El sujeto A afirma B.
2. Hay algo cuestionable acerca de A.
3. Luego, B es falso.

Es muy común el intento de invalidar afirmaciones basándose en una crítica hacia quien las realiza. Esta falacia sería la opuesta al «argumento dirigido al respeto» («argumentum ad verecundiam«).

Nuevamente, en este caso, es posible poner en duda la validez de una prueba basándose en la confiabilidad de su origen, pero de ninguna manera puede rechazarse una deducción basándose en esto.

Tanto en los medios de comunicación como en las discusiones es común el uso (y abuso reiterado) de esta falacia.

Tú también

La falacia «ad hominem tu quoque» es una variante de «ad hominem» (conocida como «argumento de la hipocresía«) en donde se descarta una afirmación porque es inconsistente con otras realizadas por la misma persona o con sus actos.

La afirmación de que «beber alcohol en exceso es malo para la salud» no puede decirse falsa por el simple hecho de que quien la realice sea un alcohólico. Tampoco puede decirse falsa una afirmación porque quien la promueve «antes decía otra cosa«.

Argumento dirigido a la ignorancia

La falacia «ad ignorantiam» tiene la siguiente forma:

1. Se afirma A.
2. No se tienen pruebas para afirmar o refutar A.
3. Por lo tanto, A es verdadero.

Nuevamente, al ver la forma de esta falacia parece ridícula. Pero pensemos un momento en cuántas veces se nos intenta convencer de algo argumentando que «nunca se ha demostrado lo contrario» (algo muy común entre espiritistas, ovnílogos y «pseudo-científicos» por el estilo).

Argumento dirigido a las consecuencias

La forma de esta falacia (llamada «argumentum ad consecuentiam«) es la siguiente:

1. A afirma B.
2. B tiene una consecuencia C, considerada negativa.
3. Por tanto, B es falso.

Veamos algunos ejemplos de esta falacia:

1. El universo no se creó en 7 días.
2. Si el Universo no se creó en 7 días, la Biblia podría dejar de ser creíble.
3. Entonces, el universo se creó en 7 días.

(Puede parecer ridículo, pero hay quienes razonan de esta manera.)

1. No existe nada después de la muerte.
2. Si no existe nada después de la muerte, la vida no tendría sentido.
3. Por lo tanto, debe haber algo después de la muerte.

Indudablemente, esta falacia es inducida por la necesidad de crear una sensación de comodidad respecto de una posibilidad que implicaría consecuencias negativas.

Correlación coincidente

Esta falacia, llamada «post hoc ergo propter hoc«, consiste en explicar la ocurrencia de un suceso a causa de otro anterior (basándose sólo en el orden de los acontecimientos).

Esta es la base de la mayoría de las supersticiones y del llamado «pensamiento mágico«. Podemos ilustrar esto con un ejemplo (no más ridículo que la mayoría de las supersticiones):

1. El gallo siempre canta antes de la salida del sol.
2. Luego, el canto del gallo provoca que salga el sol.

Conclusión

El análisis de las distintas falacias es muy importante para evitar caer en las «trampas» que puede ponernos nuestra propia mente (producto de la costumbre, los deseos, los temores y las motivaciones) o factores externos, tales como los medios de comunicación, los discursos políticos, o hasta un contendiente ocasional.

Este artículo no presenta, ni mucho menos, un análisis profundo ni exhaustivo sobre el tema. Un buen lugar para seguir leyendo sobre él, es la página dedicada a las falacias en la Wikipedia.

Después de haber recibido algunos buenos comentarios sobre este asunto, y para seguir con la polémica, aquí va otro artículo en el mismo sentido.

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Escrito enojado

Edsger W. Dijkstra (EWD696)

«Pero los gráficos no son la cuestión central de la geometría, y no está permitido razonar a partir de ellos. Es cierto que mucha gente, incluyendo a los matemáticos, se apoyan en ellos como una muleta y se encuentran incapacitados de hablar cuando se les quita dicha muleta.»

Morris Kline en el capítulo «Un Discurso sobre el Método» de «Matemáticas en la Cultura Occidental», Oxford University Press, Inc., 1953

La observación de Morris Kline es correcta. Omite la explicación de lo que ha observado, aunque dicha explicación es simple: la mayoría de la gente, incluyendo a los matemáticos, son pensadores aficionados en el sentido en que no se les ha enseñado cómo pensar eficazmente. No se les ha dicho que tiren la muleta y, por lo tanto, nunca han aprendido a correr.

El hábito de usar ayudas gráficas, como cualquier hábito, es muy dificil de erradicar. Sin embargo, si aceptamos alguna responsabilidad por la eficacia de nuestros hábitos de razonamiento, deberíamos tratar de abandonarlo tan rápido como sea posible; dado que es un mal hábito, desconcertante y engañoso hasta el punto de ser paralizante. Una de las contras de los gráficos es que son casi siempre sobre-específicos. Uno no puede graficar «un triángulo arbitrario»: ni bien uno lo ha hecho, éste tiene un ángulo obtuso o no, mientras que para «el triángulo arbitrario» la propiedad de tener un ángulo obtuso está explicitamente indefinida. En el caso de los grafos es aún peor, porque el mismo grafo específico tiene tantas representaciones gráficas, que el sólo establecer que dos gráficos distintos representan el mismo grafo requiere de un tosco proceso de verificación. En el caso de los árboles y listas una circunstancia simpáticamente desconcertante es que la mayoría de las convenciones gráficas no incluyen una representación visible para el árbol o la lista vacía. Son engañosos porque la misma cosa tiene varias representaciones visualmente muy diferentes; su uso es desconcertante porque es insólito cuando un autor establece que dos gráficos distintos tienen que ser considerados semánticamente equivalentes, y son paralizantes porque sólo pueden representar miembros individuales de un conjunto. Y cuando trabajamos con un conjunto, uno de los peores errores que podemos cometer al razonar es tratar de lidiar con el conjunto como un todo, trabajando con los miembros individuales de un subconjunto del cual sólo podemos rogar que sea representativo: uno solamente puede trabajar con un conjunto -y por lo tanto con todos sus miembros- mediante su definición. Una vez que haya comprendido esto, no lo sorprenderá escuchar que uno de los mayores componentes del aprendizaje del razonamiento efectivo es el «desaprendizaje» del uso de gráficos. (Y el «desaprendizaje» es muy dificultoso, dado que su pasado seguirá siendo su pasado: lo único que puede hacer es superponer un nuevo pasado sobre el anterior, y rogar que el más reciente sea dominante.)

Y todo esto fue desencadenado por el «Diseño de Programas Abstractos en un Entorno Interactivo», la tesis doctoral de Lars Kahn, de Estocolmo, quién gentilmente me envió una copia; la cual revisé la otra noche. Entre otros comentarios que no citaré, (el ahora Doctor) Lars Kahn establece que «[es] mi propia experiencia y la de otros, que es más natural en el proceso de diseño el uso de una notación gráfica en vez de texto. Por varios motivos, no he tenido la oportunidad de implementar una herramienta interactiva con notación gráfica, pero creo que un sistema visual gráfico fácilmente operable para el diseño de programas sería la mejor asistencia mental». Aquí «más natural» debe leerse como «más natural para el ignorante»: su «sistema visual gráfico fácilmente operable» significaría el perjuicio más grave al diseño de programas que puedo imaginar. La disertación -de esto me di cuenta más tarde, habiendo salteado las letras pequeñas- fue para el grado de Doctor en ciencias sociales, lo cual trata ciertamente sobre el ignorante. A veces temo que además sean para el ignorante, y por el ignorante.

20 de diciembre de 1978

Plataanstraat 5
5671 AL Nuenen
Holanda
prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Investigador Asociado de Burroughs

Tenemos dos recipientes con las mismas cantidades de agua y tinta, respectivamente. Tomamos una gota del recipiente con agua y la volcamos al recipiente con tinta. Lo revolvemos hasta obtener una mezcla totalmente homogenea. Finalmente tomamos una gota de éste último y la volcamos al recipiente con agua.

La pregunta es: ¿Hay más agua en la tinta o más tinta en el agua?

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Por qué Juancito no puede entender

Hace unos años escuché una disertación sobre la estructura de las pruebas. Sin vacilar, el disertante se volvió muy gráfico y las pruebas se convirtieron en grafos dirigidos con flechas de los antecedentes a los consecuentes. [Mathematics Inc. hubiera comercializado el producto por aquellos días como Entendimiento Asistido por Computadoras Mediante Animación de Argumentos.] Luego de quince minutos el orador dirigió nuestra atención hacia el hecho de que algunas pruebas eran planas, en tanto que otras no lo eran. Luego, mostró cómo transformaciones simples de las pruebas en otras lógicamente equivalentes podían cambiar su «planaridad«; pero en vez de concluir que, por lo tanto, la planaridad de las pruebas no era probablemente un concepto relevante, se embarcó en un estudio de los argumentos intrínsecamente no-planos, etc.

Fue la disertación más absurda que he oído en años. (Por eso aún la recuerdo.) El pobre tipo era una grave víctima de su educación: confundía el grafo dirigido, como un subconjunto de los pares ordenados, con la representación gráfica de flechas entre puntos. [Si hubiera sido instruido sobre las matrices de incidencia, podría haber disertado sobre los eigenvalores de las pruebas.]

Esto es lo que nos sucede una y otra vez. Cuando se nos introduce un nuevo concepto se nos dan varios ejemplos de un contexto esperanzadoramente familiar, o se nos dan uno o dos modelos en los cuales el nuevo formalismo, sus objetos y sus operaciones pueden ser «entendidos». Y realmente se nos alienta a realizar esas interpretaciones para convencernos a nosotros mismos de que el nuevo formalismo «tiene sentido». Fallan, sin embargo, en advertirnos de que tales interpretaciones tienden a ser engañosas porque los modelos son sobreespecíficos; en que tales hábitos de entendimiento son totalmente desconcertantes cuando las visualizaciones que los acompañan desorientan a la imaginación y que la carga mental de moverse hacia y desde la fórmula y su interpretación, debe mejor evitarse. De hecho, uno solo puede esperar que, al aumentar la familiaridad con el formalismo, el modelo tranquilamente se esfume de nuestra conciencia.

Esto ya había comenzado cuando se nos enseñaron los números naturales. No aprendimos que 2 + 3 = 5, primero aprendimos -¡gráficamente!- que dos manzanas y tres manzanas son cinco manzanas, y luego para peras, para plumas, para gatos, árboles y elefantes. El modelo de la manzana es penosamente inadecuado, dado que, para dar lugar al producto, la manzana tiene que ser elevada al cuadrado, y por consiguiente -y afortunadamente- se desvanece; pero no antes de haber creado un obstáculo para los enteros negativos. Se puede argumentar que seguimos pagando el precio, esto es, si consideramos la invisibilidad del cero en el modelo de la manzana como la responsable de todas las complicaciones matemáticas causadas por considerar el 1 como el menor número natural. (En comparación con los griegos hemos sido afortunados: con sus segmentos de línea pudieron multiplicar muy poco, desafortunadamente lo suficiente como para no tirar su modelo. Y eventualmente la matemática griega murió por su pobreza conceptual y complejidad gráfica: una lección para todos nosotros.)

Dudo seriamente que el desvío a través del modelo de la manzana sea esencial para enseñar los enteros a niños pequeños, pero aún en tal caso, no veo la razón por la cual un proceso de aprendizaje que pueda ser apropiado para niños pequeños deba serlo también para la mente adulta. Y esta parece ser la asunción sobre la cual operan la mayoría de los escritores y muchos de los lectores adultos. Mi -triste- conclusión es que los patrones más difundidos de entendimiento no han sido seleccionados concienzudamente por su efectividad y pueden ser mejor descriptos como hábitos adictivos, muchos de los cuales merecen una advertencia de cirugía general.

Mi observación más común es ver gente que se siente más confortable con el específico innecesario. Cuando son confrontados a un conjunto parcialmente ordenado, piensan mentalmente «por ejemplo, los enteros». Mientras yo fui entrenado para evitar los ejemplos al leer un texto -dado que pueden ser superfluos y, en cualquier caso, distraen-, veo gente que se siente más incómoda fuando se enfrentan a un texto sin ejemplos. Gente que tiene dificultad en entender una construcción que contiene un parámetro natural k me ha asegurado que dicha parametrización presenta un obstáculo adicional que podrían remover sustituyendo inicialmente k por un valor pequeño, digamos 3. No tengo motivos para dudar de su palabra; el extraño fenómeno probablemente estaba conectado al hecho de que k no ocurría en un contexto muy aritmético, sino como la longitud de cadenas o la cantidad de arcos que confluyen en un vértice (contextos en los cuales están habituados a manejarse en términos de gráficos). De la misma forma una permutación «arbitraria» creó problemas similares: hubieran preferido una específica, posiblemente seguida de un comentario al final que indicara que la elección de la permutación no importaba realmente. Es muy extraño, hasta desconcertante, ver a gente perturbada cuando se dejan abiertas preguntas cuyas respuestas son irrelevantes.

Una observación final me sugiere que, de hecho, es culpa del sistema educativo. Recuerdo muy bien la introducción de la idea de que es tarea del profesor el motivar a sus estudiantes. (La recuerdo muy bien porque pensé que la idea era muy absurda.) Ahora encuentro jóvenes científicos educados bajo el régimen motivador, que tienen una desventaja notable: su habilidad para absorber información no motivada está limitada a unas 10 líneas. El objeto y su propósito son cosas diferentes, pero ellos no aprendieron a distinguirlo y ahora son incapaces de separar estos asuntos. Es un ejemplo atemorizador de cómo la educación puede infundir necesidades psicológicas que se vuelven una importante desventaja.

Austin, 5 de noviembre de 1986

prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Departamento de Ciencias de la Computación
Universidad de Texas
Austin, TX 78712-1188
Estados Unidos de América

El problema es el siguiente:

Disponemos de una matriz infinita, cuyos índices son los números naturales (esto es, las columnas y las filas están numeradas desde 0 en adelante). El problema consiste en completar la matriz con números naturales, de manera que cada fila y cada columna contenga una única aparición de cáda número natural.

Para comprender mejor el problema: podríamos pensar en completar la primera fila (0) con todos los números naturales, a partir desde 0, y en la segunda fila (1) «desplazarlos» una posición (ocupando el 0 la columna 1); y así sucesivamente. El problema es que no podríamos encontrar un número natural que colocar en la columna 0 de la segunda fila (el infinito no es un número, ¿verdad?), por lo cual esta estrategia no funcionaría.

En algunos días, en los cuales ojalá reciba algunas respuestas, completaré el artículo comentando la solución y las distintas formas en que me fueron presentadas.