A continuación, la transcripción:

Una última pregunta: supongamos profesor Russell… que esta grabación sea vista por nuestros descendientes, como los Manuscritos del Mar Muerto, en un período de cientos de años.

¿Qué piensa usted que valdría la pena decirle a esa generación sobre la vida que usted vivió y las lecciones que usted de ella aprendió?

Me gustaría ver dos cosas: una intelectual y una moral.

Lo intelectual que me gustaría decirles es esto: cuando estés estudiando cualquier tema o considerando cualquier filosofía, pregúntate a ti mismo únicamente: ¿cuáles son los hechos? ¿y cuál es la verdad que los hechos sostienen? Nunca te dejes desviar, ya sea por lo que tú deseas creer o por lo que crees que te traería beneficio si así fuese creído. Observa únicamente e indudablemente cuáles son los hechos. Eso es lo intelectual que quisiera decir.

Lo moral que quisiera decirles es muy simple. Debo decir: El amor es sabio, el odio es estúpido. En este mundo, que cada vez se vuelve más y más estrechamente interconectado, tenemos que aprender a tolerarnos unos a los otros, tenemos que aprender a aceptar el hecho de que alguien dirá cosas que no nos gustarán. Solamente podemos vivir juntos de esa manera. Si vamos a vivir juntos, y no a morir juntos, debemos aprender un poco de caridad y un poco de tolerancia, que es absolutamente vital para la continuación de la vida humana en este planeta.

Me acabo de comprar una heladera Gafa (modelo HGF 340 B, aunque supongo que lo mismo pasará con las 360, 370 y 380). Luego de leer cuidadosamente el manual y de realizar la instalación y puesta en marcha siguiendo cada uno de los pasos noto que, pasadas 5 horas, la heladera no ha enfriado absolutamente nada (allá van las 4 pavadas que tenía para comer). Viendo la contratapa del manual, veo que el fabricante (Frimetal S.A.) tiene un número de servicio al cliente: 0800-555-4232. Entonces, ¡allá vamos!

Para mi sorpresa, luego de atenderme un IVR muy cortito y “amable”, me atiende algo que de movida me pareció un ser humano, con voz femenina, que dijo llamarse “Jessica”. Reproduzco a continuación la conversación (lo que pensé va en cursiva):

- Te llamo porque he instalado una heladera Gafa HGF 340 B según las indicaciones del manual y pasadas más de 5 horas no ha enfriado nada.

- ¿En qué posición puso el termostato?

(Hum…. mala espina. ¿No debería primero preguntarme si enciende la luz interior, como para verificar que el aparato tiene alimentación eléctrica?)

- En el punto medio, como dice el manual, 2 horas y luego al máximo unas 5 horas.

- ¿Al máximo? ¿El extremo grueso o delgado de la línea de la perilla?

- El grueso, como dice el manual.

- No, Señor, el manual es confuso en eso. El extremo grueso es el mínimo, el delgado es el máximo.

(A la pelotita… o no se leer, o la gripe me dejó idiota. Como mínimo, de ser así, los ingenieros de Gafa saben de usabilidad lo que yo de ballet. ¿A quién se le ocurre asociar “máximo” con “fino” y “mínimo” con “grueso”. Pero bueno, demasiado para discutirlo ahora.)

Acudo al manual y rapidamente releo:

En días calurosos, o si hay muchos alimentos o las puertas se abren con frecuencia, posicionar la perilla dentro de la primera mitad del cuadrante (la curva color gris más ancha).

En días fríos o con pocos alimentos, posicionar la perilla dentro de la segunda mitad del cuadrante (la curva color gris más delgada en degradé).

(Bien, entonces debo ser idiota. Para mí el manual es perfectamente claro.)

- Disculpame, acabo de leer el manual nuevamente y no es nada confuso, pero dice exactamente lo contrario a lo que me pedís que haga.

- No señor, el manual es confuso en ese sentido. Tiene que poner la perilla en el extremo delgado.

- No.

- ¿Cómo señor?

- Que no. Y aquí va el por qué: Si me decís que el manual “es confuso” entonces voy a hacer el esfuerzo para entender lo que quisieron decir en él. En cambio, si me decís que el manual “está mal”, entonces voy a hacer exactamente lo contrario a lo que dice (que es lo que me estás pidiendo).

- Bueno, señor.

- Entonces, vamos de nuevo: ¿El manual es confuso o tiene un error?

- Tiene un error.

- Bueno, muchas gracias por arruinar mi comida.

- Que tenga un buen día.

Por un lado es notable la cuadratura de los ingenieros de Gafa (veo en el nuevo manual, disponible en la web que han reemplazado la notación por números… ¡con “1″ igual a “máximo” y “4″ igual a “mínimo”!). Por otro… ¿qué decir? ¿Será que cada vez nos volvemos todos más idiotas?

¡Estamos rodeados!. (Ah, creo que al menos la heladera ya está enfriando…)

Actualización

Pobre ingenuo. La heladera sigue sin enfriar ni un grado. El soporte de Gafa propone mandarme un técnico algún día de estos. Los garcas de Ribeiro ni siquiera me responden el teléfono. Todo por una simple heladera, pagada de contado y sin mayores complicaciones. Creo que esta vez si se me va a salir lo medioeval de adentro…

Un monje parte al amanecer de cierto día desde su monasterio, que se encuentra al pié de una montaña, hacia la cima de la misma. En su camino asciende por un angosto sendero, quizás deteniéndose cada tanto para recuperar el aliento o para apreciar el paisaje. Al cabo de varias horas, finalmente alcanza la cima.

Una vez allí, adopta la posición de loto y permanece meditando el resto del día y también la noche siguiente. Al amanecer del nuevo día, se levanta y emprende el camino de regreso al monasterio, a través del mismo sendero por el que había ascendido.

Podemos observar que:

• El tiempo empleado en ascender muy probablemente haya sido mayor que el del descenso.
• La hora de partida muy probablemente no haya sido exactamente la misma en ambos días.
• La velocidad del monje no ha sido constante (en algunos momentos puede haber caminado más rápido o más lento y seguramente se detuvo varias veces en su camino).

Sin embargo, la tesis es que necesariamente debió atravesar algún punto del camino exactamente a la misma hora (con un día de diferencia). ¿Puede el lector explicar por qué?

Algunas aclaraciones:

• No importa si los puntos de partida/llegada (el lugar del monasterio de donde salió y adonde llegó) no son exactamente el mismo.
• Consideramos al sendero lo suficientemente angosto, es decir, no importan los desplazamientos laterales. El camino puede ser sinuoso, pero lo consideramos una línea.
• La condición más importante es que el camino sea lo suficientemente largo (recordemos que hablamos de “varias” horas).

Lamentablemente, muchas veces dichos razonamientos (propios y ajenos) son falaces. Una falacia lógica es un razonamiento aparentemente válido (“lógico“), cuya conclusión no se desprende de la verdad o falsedad de las premisas. Estructuralmente, consiste en la aplicación incorrecta de un principio lógico válido o la aplicación de uno inexistente.

Las falacias son especialmente peligrosas cuando, basándose en premisas o argumentos válidos, nos llevan a realizar (o aceptar) conclusiones que no lo son. Algunas veces, ocurren producto de errores o por ignorancia, pero muchas otras son utilizadas intencionalmente con fines de distracción, confusión o engaño. A continuación analizaremos brevemente las más comunes.

Argumento dirigido al respeto

La forma lógica de esta falacia (llamada “argumentum ad verecundiam“) es:

1. El sujeto A afirma B.
2. A goza de prestigio o credibilidad.
3. Entonces, B es cierto.

Desde los simples “lo dijeron en la televisión” y “salió en el diario“, hasta el común “un respetado investigador dice…“, muchas veces son tomados (sin más) como prueba de veracidad. Aún en ámbitos académicos, suele oirse “lo dijo el profesor“, o “lo dice el libro“, como única justificación del por qué de una afirmación.

Es correcto valorar las premisas (los argumentos, la evidencia), teniendo en cuenta el prestigio o reconocimiento de quien las afirma. Lo incorrecto es aceptar de plano una deducción, baśandose solamente en la autoridad de alguien.

Argumento dirigido al pueblo

Esta falacia (llamada “argumentum ad populum“) es una variante de la anterior, cuya forma es:

1. Se dice que la mayoría de la gente afirma B.
2. Por tanto, B es cierto.

Expuesta de esta manera, parece rídicula. Sin embargo, ¿cuántas veces se nos intenta convencer de que algo es cierto porque mucha gente opina que es así?

En particular, esta falacia es inmovilista ya que, ante la posibilidad de algo innovador, siempre podrá argumentarse que “no lo ha hecho nadie” o que tal cosa “no existe en ninguna otra parte” (variantes de la misma falacia).

Argumento dirigido al hombre

Esta falacia (llamada “argumentum ad hominem“) tiene la siguiente forma:

1. El sujeto A afirma B.
2. Hay algo cuestionable acerca de A.
3. Luego, B es falso.

Es muy común el intento de invalidar afirmaciones basándose en una crítica hacia quien las realiza. Esta falacia sería la opuesta al “argumento dirigido al respeto” (“argumentum ad verecundiam“).

Nuevamente, en este caso, es posible poner en duda la validez de una prueba basándose en la confiabilidad de su origen, pero de ninguna manera puede rechazarse una deducción basándose en esto.

Tanto en los medios de comunicación como en las discusiones es común el uso (y abuso reiterado) de esta falacia.

Tú también

La falacia “ad hominem tu quoque” es una variante de “ad hominem” (conocida como “argumento de la hipocresía“) en donde se descarta una afirmación porque es inconsistente con otras realizadas por la misma persona o con sus actos.

La afirmación de que “beber alcohol en exceso es malo para la salud” no puede decirse falsa por el simple hecho de que quien la realice sea un alcohólico. Tampoco puede decirse falsa una afirmación porque quien la promueve “antes decía otra cosa“.

Argumento dirigido a la ignorancia

La falacia “ad ignorantiam” tiene la siguiente forma:

1. Se afirma A.
2. No se tienen pruebas para afirmar o refutar A.
3. Por lo tanto, A es verdadero.

Nuevamente, al ver la forma de esta falacia parece ridícula. Pero pensemos un momento en cuántas veces se nos intenta convencer de algo argumentando que “nunca se ha demostrado lo contrario” (algo muy común entre espiritistas, ovnílogos y “pseudo-científicos” por el estilo).

Argumento dirigido a las consecuencias

La forma de esta falacia (llamada “argumentum ad consecuentiam“) es la siguiente:

1. A afirma B.
2. B tiene una consecuencia C, considerada negativa.
3. Por tanto, B es falso.

Veamos algunos ejemplos de esta falacia:

1. El universo no se creó en 7 días.
2. Si el Universo no se creó en 7 días, la Biblia podría dejar de ser creíble.
3. Entonces, el universo se creó en 7 días.

(Puede parecer ridículo, pero hay quienes razonan de esta manera.)

1. No existe nada después de la muerte.
2. Si no existe nada después de la muerte, la vida no tendría sentido.
3. Por lo tanto, debe haber algo después de la muerte.

Indudablemente, esta falacia es inducida por la necesidad de crear una sensación de comodidad respecto de una posibilidad que implicaría consecuencias negativas.

Correlación coincidente

Esta falacia, llamada “post hoc ergo propter hoc“, consiste en explicar la ocurrencia de un suceso a causa de otro anterior (basándose sólo en el orden de los acontecimientos).

Esta es la base de la mayoría de las supersticiones y del llamado “pensamiento mágico“. Podemos ilustrar esto con un ejemplo (no más ridículo que la mayoría de las supersticiones):

1. El gallo siempre canta antes de la salida del sol.
2. Luego, el canto del gallo provoca que salga el sol.

Conclusión

El análisis de las distintas falacias es muy importante para evitar caer en las “trampas” que puede ponernos nuestra propia mente (producto de la costumbre, los deseos, los temores y las motivaciones) o factores externos, tales como los medios de comunicación, los discursos políticos, o hasta un contendiente ocasional.

Este artículo no presenta, ni mucho menos, un análisis profundo ni exhaustivo sobre el tema. Un buen lugar para seguir leyendo sobre él, es la página dedicada a las falacias en la Wikipedia.

Después de haber recibido algunos buenos comentarios sobre este asunto, y para seguir con la polémica, aquí va otro artículo en el mismo sentido.

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Escrito enojado

Edsger W. Dijkstra (EWD696)

“Pero los gráficos no son la cuestión central de la geometría, y no está permitido razonar a partir de ellos. Es cierto que mucha gente, incluyendo a los matemáticos, se apoyan en ellos como una muleta y se encuentran incapacitados de hablar cuando se les quita dicha muleta.”

Morris Kline en el capítulo “Un Discurso sobre el Método” de “Matemáticas en la Cultura Occidental”, Oxford University Press, Inc., 1953

La observación de Morris Kline es correcta. Omite la explicación de lo que ha observado, aunque dicha explicación es simple: la mayoría de la gente, incluyendo a los matemáticos, son pensadores aficionados en el sentido en que no se les ha enseñado cómo pensar eficazmente. No se les ha dicho que tiren la muleta y, por lo tanto, nunca han aprendido a correr.

El hábito de usar ayudas gráficas, como cualquier hábito, es muy dificil de erradicar. Sin embargo, si aceptamos alguna responsabilidad por la eficacia de nuestros hábitos de razonamiento, deberíamos tratar de abandonarlo tan rápido como sea posible; dado que es un mal hábito, desconcertante y engañoso hasta el punto de ser paralizante. Una de las contras de los gráficos es que son casi siempre sobre-específicos. Uno no puede graficar “un triángulo arbitrario”: ni bien uno lo ha hecho, éste tiene un ángulo obtuso o no, mientras que para “el triángulo arbitrario” la propiedad de tener un ángulo obtuso está explicitamente indefinida. En el caso de los grafos es aún peor, porque el mismo grafo específico tiene tantas representaciones gráficas, que el sólo establecer que dos gráficos distintos representan el mismo grafo requiere de un tosco proceso de verificación. En el caso de los árboles y listas una circunstancia simpáticamente desconcertante es que la mayoría de las convenciones gráficas no incluyen una representación visible para el árbol o la lista vacía. Son engañosos porque la misma cosa tiene varias representaciones visualmente muy diferentes; su uso es desconcertante porque es insólito cuando un autor establece que dos gráficos distintos tienen que ser considerados semánticamente equivalentes, y son paralizantes porque sólo pueden representar miembros individuales de un conjunto. Y cuando trabajamos con un conjunto, uno de los peores errores que podemos cometer al razonar es tratar de lidiar con el conjunto como un todo, trabajando con los miembros individuales de un subconjunto del cual sólo podemos rogar que sea representativo: uno solamente puede trabajar con un conjunto -y por lo tanto con todos sus miembros- mediante su definición. Una vez que haya comprendido esto, no lo sorprenderá escuchar que uno de los mayores componentes del aprendizaje del razonamiento efectivo es el “desaprendizaje” del uso de gráficos. (Y el “desaprendizaje” es muy dificultoso, dado que su pasado seguirá siendo su pasado: lo único que puede hacer es superponer un nuevo pasado sobre el anterior, y rogar que el más reciente sea dominante.)

Y todo esto fue desencadenado por el “Diseño de Programas Abstractos en un Entorno Interactivo”, la tesis doctoral de Lars Kahn, de Estocolmo, quién gentilmente me envió una copia; la cual revisé la otra noche. Entre otros comentarios que no citaré, (el ahora Doctor) Lars Kahn establece que “[es] mi propia experiencia y la de otros, que es más natural en el proceso de diseño el uso de una notación gráfica en vez de texto. Por varios motivos, no he tenido la oportunidad de implementar una herramienta interactiva con notación gráfica, pero creo que un sistema visual gráfico fácilmente operable para el diseño de programas sería la mejor asistencia mental”. Aquí “más natural” debe leerse como “más natural para el ignorante”: su “sistema visual gráfico fácilmente operable” significaría el perjuicio más grave al diseño de programas que puedo imaginar. La disertación -de esto me di cuenta más tarde, habiendo salteado las letras pequeñas- fue para el grado de Doctor en ciencias sociales, lo cual trata ciertamente sobre el ignorante. A veces temo que además sean para el ignorante, y por el ignorante.

20 de diciembre de 1978

Plataanstraat 5
5671 AL Nuenen
Holanda
prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Investigador Asociado de Burroughs

Tenemos dos recipientes con las mismas cantidades de agua y tinta, respectivamente. Tomamos una gota del recipiente con agua y la volcamos al recipiente con tinta. Lo revolvemos hasta obtener una mezcla totalmente homogenea. Finalmente tomamos una gota de éste último y la volcamos al recipiente con agua.

La pregunta es: ¿Hay más agua en la tinta o más tinta en el agua?

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Por qué Juancito no puede entender

Hace unos años escuché una disertación sobre la estructura de las pruebas. Sin vacilar, el disertante se volvió muy gráfico y las pruebas se convirtieron en grafos dirigidos con flechas de los antecedentes a los consecuentes. [Mathematics Inc. hubiera comercializado el producto por aquellos días como Entendimiento Asistido por Computadoras Mediante Animación de Argumentos.] Luego de quince minutos el orador dirigió nuestra atención hacia el hecho de que algunas pruebas eran planas, en tanto que otras no lo eran. Luego, mostró cómo transformaciones simples de las pruebas en otras lógicamente equivalentes podían cambiar su “planaridad“; pero en vez de concluir que, por lo tanto, la planaridad de las pruebas no era probablemente un concepto relevante, se embarcó en un estudio de los argumentos intrínsecamente no-planos, etc.

Fue la disertación más absurda que he oído en años. (Por eso aún la recuerdo.) El pobre tipo era una grave víctima de su educación: confundía el grafo dirigido, como un subconjunto de los pares ordenados, con la representación gráfica de flechas entre puntos. [Si hubiera sido instruido sobre las matrices de incidencia, podría haber disertado sobre los eigenvalores de las pruebas.]

Esto es lo que nos sucede una y otra vez. Cuando se nos introduce un nuevo concepto se nos dan varios ejemplos de un contexto esperanzadoramente familiar, o se nos dan uno o dos modelos en los cuales el nuevo formalismo, sus objetos y sus operaciones pueden ser “entendidos”. Y realmente se nos alienta a realizar esas interpretaciones para convencernos a nosotros mismos de que el nuevo formalismo “tiene sentido”. Fallan, sin embargo, en advertirnos de que tales interpretaciones tienden a ser engañosas porque los modelos son sobreespecíficos; en que tales hábitos de entendimiento son totalmente desconcertantes cuando las visualizaciones que los acompañan desorientan a la imaginación y que la carga mental de moverse hacia y desde la fórmula y su interpretación, debe mejor evitarse. De hecho, uno solo puede esperar que, al aumentar la familiaridad con el formalismo, el modelo tranquilamente se esfume de nuestra conciencia.

Esto ya había comenzado cuando se nos enseñaron los números naturales. No aprendimos que 2 + 3 = 5, primero aprendimos -¡gráficamente!- que dos manzanas y tres manzanas son cinco manzanas, y luego para peras, para plumas, para gatos, árboles y elefantes. El modelo de la manzana es
penosamente inadecuado, dado que, para dar lugar al producto, la manzana tiene que ser elevada al cuadrado, y por consiguiente -y afortunadamente- se desvanece; pero no antes de haber creado un obstáculo para los enteros negativos. Se puede argumentar que seguimos pagando el precio, esto es, si consideramos la invisibilidad del cero en el modelo de la manzana como la responsable de todas las complicaciones matemáticas causadas por considerar el 1 como el menor número natural. (En comparación con los griegos hemos sido afortunados: con sus segmentos de línea pudieron multiplicar muy poco, desafortunadamente lo suficiente como para no tirar su modelo. Y eventualmente la matemática griega murió por su pobreza conceptual y complejidad gráfica: una lección para todos nosotros.)

Dudo seriamente que el desvío a través del modelo de la manzana sea esencial para enseñar los enteros a niños pequeños, pero aún en tal caso, no veo la razón por la cual un proceso de aprendizaje que pueda ser apropiado para niños pequeños deba serlo también para la mente adulta. Y esta parece ser la asunción sobre la cual operan la mayoría de los escritores y muchos de los lectores adultos. Mi -triste- conclusión es que los patrones más difundidos de entendimiento no han sido seleccionados concienzudamente por su efectividad y pueden ser mejor descriptos como hábitos adictivos, muchos
de los cuales merecen una advertencia de cirugía general.

Mi observación más común es ver gente que se siente más confortable con el específico innecesario. Cuando son confrontados a un conjunto parcialmente ordenado, piensan mentalmente “por ejemplo, los enteros”. Mientras yo fui entrenado para evitar los ejemplos al leer un texto -dado que pueden ser superfluos y, en cualquier caso, distraen-, veo gente que se siente más incómoda fuando se enfrentan a un texto sin ejemplos. Gente que tiene dificultad en entender una construcción que contiene un parámetro natural k me ha asegurado que dicha parametrización presenta un obstáculo adicional que podrían remover sustituyendo inicialmente k por un valor pequeño, digamos 3. No
tengo motivos para dudar de su palabra; el extraño fenómeno probablemente estaba conectado al hecho de que k no ocurría en un contexto muy aritmético, sino como la longitud de cadenas o la cantidad de arcos que confluyen en un vértice (contextos en los cuales están habituados a manejarse en términos de gráficos). De la misma forma una permutación “arbitraria” creó problemas similares: hubieran preferido una específica, posiblemente seguida de un comentario al final que indicara que la elección de la permutación no importaba realmente. Es muy extraño, hasta desconcertante, ver a gente perturbada cuando se dejan abiertas preguntas cuyas respuestas son irrelevantes.

Una observación final me sugiere que, de hecho, es culpa del sistema educativo. Recuerdo muy bien la introducción de la idea de que es tarea del profesor el motivar a sus estudiantes. (La recuerdo muy bien porque pensé que la idea era muy absurda.) Ahora encuentro jóvenes científicos educados bajo el régimen motivador, que tienen una desventaja notable: su habilidad para absorber información no motivada está limitada a unas 10 líneas. El objeto y su propósito son cosas diferentes, pero ellos no aprendieron a distinguirlo y ahora son incapaces de separar estos asuntos. Es un ejemplo atemorizador de cómo la educación puede infundir necesidades psicológicas que se vuelven una importante desventaja.

Austin, 5 de noviembre de 1986

prof.dr.Edsger W.Dijkstra
Departamento de Ciencias de la Computación
Universidad de Texas
Austin, TX 78712-1188
Estados Unidos de América

El problema es el siguiente:

Disponemos de una matriz infinita, cuyos índices son los números naturales (esto es, las columnas y las filas están numeradas desde 0 en adelante). El problema consiste en completar la matriz con números naturales, de manera que cada fila y cada columna contenga una única aparición de cáda número natural.

Para comprender mejor el problema: podríamos pensar en completar la primera fila (0) con todos los números naturales, a partir desde 0, y en la segunda fila (1) “desplazarlos” una posición (ocupando el 0 la columna 1); y así sucesivamente. El problema es que no podríamos encontrar un número natural que colocar en la columna 0 de la segunda fila (el infinito no es un número, ¿verdad?), por lo cual esta estrategia no funcionaría.

En algunos días, en los cuales ojalá reciba algunas respuestas, completaré el artículo comentando la solución y las distintas formas en que me fueron presentadas.

A simple vista parece una trivialidad: ¿Qué más da si comenzamos a contar desde 0, desde 1 o desde cualquier número natural? Pero luego, cualquier persona que haya programado sin tener en cuenta estas cuestiones y que haya renegado depurando sus programas teniendo que sumar o restar 1 por aquí y por allá para considerar “casos especiales” en el tratamiento de secuencias o arreglos, sabrá valorar este pequeño artículo.

Por qué la numeración debería empezar desde cero

Para denotar la subsecuencia de números naturales 2,3,…,12 sin los
perniciosos tres puntos, se nos ofrecen cuatro conveciones

a)   2 ≤ i < 13
b)   1 < i ≤ 12
c)   2 ≤ i ≤ 12
d)   1 < i < 13

¿Existen motivos para preferir una convención sobre las otras? Si, existen. La observación
que las convenciones a) y b) tienen la ventaja que la diferencia entre las cotas
es igual a la longitud de la subsecuencia es válida. También lo es la observación que
como consecuencia, en cualquiera de las dos convenciones, el hecho que dos subsecuencias sean
adyacentes significa que la cota superior de una es la cota inferior de la otra. Aunque esas
observaciones son válidas, no nos habilitan a elegir entre a) y b), por lo tanto
comencemos nuevamente.

• Existe el mínimo número natural. La exclusión de la cota inferior -como en b) y en
  d)- obligan para una subsecuencia que comience en el menor número natural a que la cota
  inferior pertenezca al reino de los números no naturales. Eso es feo, por lo tanto preferimos
  para la cota inferior el ≤, como an a) y en c).
• Consideremos ahora las
  subsecuencias que comienzan en el mínimo número natural: la inclusión de la cota
  superior obligaría a esta última a ser un número no natural, en el caso que la secuencia
  sea contraída a la vacía. Eso es feo, por lo tanto para la cota superior preferimos el <, como
  en a) y en d).

Concluimos que debe preferirse la convención a).

Comentario: El lenguaje de programación Mesa, desarrollado en Xerox PARC,
tiene notaciones especiales para intervalos de enteros en las cuatro convenciones. La experiencia
extensa con Mesa ha mostrado que el uso de las otras tres convenciones ha significado una
constante fuente de torpeza y errores, y a causa de esa experiencia, a los programadores Mesa se
les aconseja fuertemente no usar las últimas tres características disponibles. Menciono
esta evidencia experimental -para lo que vale- porque algunas personas se sienten incómodas
con las conclusiones que no han sido confirmadas en la práctica. (Fin del comentario.)

Cuando manipulamos una secuencia de longitud N, cuyos elementos queremos distinguir
con un subíndice, la pregunta controversial es qué valor asignar a su elemento inicial.
Siguiendo la convención a) resulta, cuando comenzamos con el subíndice 1, el rango
1 ≤ i < N+1; comenzando con 0, sin embargo, obtenemos el rango 0 ≤ i < N,
mucho más agradable. Por lo tanto dejemos que nuestros ordinales comiencen en cero: un elemento
ordinal (subíndice) es igual a la cantidad de elementos que lo preceden en la secuencia. Y la
moraleja de la historia es que deberíamos ver -¡después de todos estos siglos!- al cero
como un número natural más.

Comentario: Varios lenguajes de programación han sido diseñados sin prestar atención a este detalle. En FORTRAN los subíndices siempre comienzan desde 1; en ALGOL 60 y en PASCAL, se ha adoptado la convención c); el más reciente SASL ha caído en la misma convención que FORTRAN: una secuencia en SASL es, al mismo tiempo, una función sobre los enteros positivos. ¡Lástima! (Fin del comentario.)

Lo anterior ha sido desencadenado por un reciente incidente, cuando, en un arrebato emocional, uno de mis colegas matemáticos en la universidad —no un científico de la computación— acusó a un grupo de jóvenes científicos de la computación de “pedantería” porque —tal como lo hacen habitualmente— comenzaron a enumerar desde cero. Concientemente tomó la más sensible convención como una provocación. (También la convención “Fin del…” es vista como provocativa; pero es una convención útil: Conozco un estudiante que casi reprobó un examen por suposición tácita de que las preguntas terminaban al pié de la primera página). Creo que Antony Jay tiene razón cuando afirma que: “En las religiones corporativas como en otros ámbitos, el hereje debe ser expulsado no por la probabilidad de que esté equivocado, sino por la posibilidad de que esté en lo cierto.”

(También puede consultar el manuscrito original de este artículo y su transcripción, ambos en inglés.)

Lamentablemente, ni siquiera tuve tiempo de pensarlo, ya que el profesor de la materia (Ricardo Medel) me dijo la solución (o sea, me lo arruinó). Luego se redimió de su error prestándome el excelente libro de donde sacó el problema: The Cuckoo’s Egg (o “El Gato y el Ratón”), de Clifford Stoll.

Ah, si, el problema: ¿Cuál es el próximo término de la siguiente sucesión?

1, 11, 21, 1211, 111221, …

Por favor, si alguien publica la respuesta, sírvase hacerlo usando ROT13 (o algo así). Gracias.

Una persona debe contratar un secretario y se presentan tres postulantes para el puesto. Reúne a las tres personas y les dice lo siguiente:

“Voy a realizar una prueba para ver quién de ustedes es más inteligente. Los sentaré en una mesa redonda, enfrentados y les vendaré los ojos. Luego, a cada uno le haré una marca en la frente que será de color rojo o de color negro.

Cuando yo se los indique, se quitarán la venda y quien vea una marca negra en la frente de alguno de los otros dos, dará un golpe en la mesa. El primero que descubra de qué color es la marca que lleva en su frente, y pueda explicarme cómo lo hizo, obtendrá el puesto.“

Acto seguido, procede a vendarles los ojos a los tres y les hace a todos una marca negra en la frente. Al recibir la orden de quitarse las vendas, todos ven al menos una marca negra (de hecho, ven dos) y los tres golpean la mesa.

Al cabo de unos instantes, uno de ellos dice tener una marca negra en la frente, explica por qué se dió cuenta y obtiene el puesto.

La pregunta es: ¿cómo lo hizo?

Un hombre y su esposa ofrecen una fiesta, a la cual concurren otras cuatro parejas. Conforme van llegando, algunas de las personas se conocen y se saludan dándose la mano, otras no se conocen entre sí y por lo tanto no se saludan. Obviamente, nadie saluda a su propia pareja.

En un momento, el anfitrión pregunta a todos los presentes (las restantes nueve personas) a cuántas personas estrechó la mano cada uno, obteniendo nueve respuestas (números) distintas.

La pregunta es: ¿a cuántas personas saludó la esposa del anfitrión?

No piense en ningún truco raro ni salida fácil. ¿Una ayuda? Encontré este problema en un libro de teoría de grafos.

Publicaré la solución en unos días aquí, si es que alguien no la encuentra antes.